Обратная матрица. Матрица B называется обратной к квадратной матрице A и обозначается A–1 , если B * A = A * B = E . Т.е. A–1 * A = A * A–1 = E .
Не всякая матрица имеет обратную.
Матрица, обратная к A, существует, если определитель матрицы A не равен нулю.
В экономико-математической литературе показано, что свойства реально возможных матриц прямых затрат A таковы, что матрица (E–A) имеет обратную; т.е. матрица полных затрат B = (E–A)–1 всегда существует.
Пример вычисления обратной матрицы методом неопределённых коэффициентов.
Найдём матрицу, обратную к A =  . Пусть A–1 =  .
Наша задача – найти коэффициенты x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 , z1 , z2 , z3 .
По определению обратной матрицы, должно выполняться равенство:
A * A–1 = E
 *  = 
Т.е. (см. правило умножения матриц в Приложении 2, «Действия с матрицами»):
(a)  , (b)  , (c)  .
Из системы (a) находятся коэффициенты x1 , x2 , x3 ; из системы (b) – коэффициенты y1 , y2 , y3 ; из системы (c) – коэффициенты z1 , z2 , z3 .
Решим эти линейные системы методом Гаусса.
Сначала надо привести исходную систему (a) к диагональному виду, т.е. к виду:
где cij , bi – некоторые числа. Потом из нижнего (3-го) уравнения найти x3 : x3 =  .
Найденное значение x3 подставить в уравнение (2’), после чего найти x2 :
x2 =  (b2 – c23 x3) .
Затем значения x2 и x3 подставить в уравнение (1’) и найти x1 :
x1 =  (b1 – c12 x2 – c13 x3) .
Итак, решаем систему (a).
1) Приведём систему (a)  к диагональному виду.
Для этого сначала переставим 3-е уравнение на 1-е место:
Теперь умножим уравнение (1) на подходящее число (–2) и добавим к уравнению (2), так чтобы в уравнении (2) на месте коэффициента 2 (коэффициента при x1) получить 0. Получим:
Умножим уравнение (1) на подходящее число (–3) и добавим к уравнению (3), так чтобы в уравнении (3) на месте коэффициента 3 (коэффициента при x1) получить 0. Получим:
Умножим уравнение (2’) на (–1), получим:
Умножим уравнение (2”) на подходящее число (2) и добавим к уравнению (3'), так чтобы в уравнении (3') на месте коэффициента –6 (коэффициента при x2) получить 0. Получим:
Итак, мы привели исходную систему (a) к диагональному виду.
2) Решаем полученную систему «снизу вверх» :
x3 = –2 ; x2 =  *(–1 – 3 x3) = *(–1 – 3*(–2) ) =  ; x1 = – 5 x2 – 3 x3 = – 5 * – 3*(–2) = –  .
Итак, решение системы (a): x1 = – ; x2 = ; x3 = –2 .
Аналогично, решая системы (b) и (c) получим:
y1 = 2 ; y2 = –1 ; y3 = 1 ; z1 = – ; z2 = – ; z3 = 1 .
Следовательно, A–1 = = = * 
Проверка: A * A–1 = E
*  =
Следовательно, матрица  действительно является обратной к матрице A .
Решение линейной системы уравнений
 , i=1,2,…,n
1) Покажем, что линейная система , i=1,2,…,n , или, подробнее, система
 (1)
может быть записана в виде: x = Ax + y ,
где: x =  , y =  , A =  .
В самом деле, произведение Ax – это вектор-столбец14 :
A * x
Ax =  * = 
Тогда Ax + y
Ax + y =  + =  .
Векторное равенство x = b (по определению равенства матриц) равносильно системе уравнений:
У нас b = Ax + y . Следовательно, векторное равенство x = Ax + y равносильно системе уравнений (1) :
Что и требовалось показать.
2) Уравнение x = Ax + y решается так15 :
x – Ax = y
Ex – Ax = y
(E–A)x = y (*)
В экономико-математической литературе показано, что свойства реально возможных матриц прямых затрат A таковы, что матрица (E–A) имеет обратную; т.е. матрица полных затрат B = (E–A)–1 всегда существует.
Умножим уравнение (*) слева на матрицу B = (E–A)–1 , получим:
(E–A)–1 * (E–A) *x = (E–A)–1 * y , т.е.
\____________/
= E
То есть получаем: Ex = (E–A)–1 * y , и, окончательно, x = (E–A)–1 * y .
Или: x = By , где B = (E–A)–1 .
Далее. x = B * y
=  * 
откуда, (см. умножение матриц) получаем: 
Итак, если матрица B = (E –A)–1 существует, то решением системы уравнений , i=1,2,…,n , является вектор x = (E –A)–1 * y , или, что то же, величины  i=1,2,…,n , где bij - элемент матрицы B = (E –A)–1
|
