µ §
µ §
4. Вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени [1,5; 2,5] будет равна: р(1,5 < t < 2,5) = Ф(z2) - Ф(z1) = 0,892 - 0,107 = 0,785.
Гамма-распределение и распределение Эрланга
Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения вычисляется по формуле:
µ § при x>0, где л > 0 и k > 0
Г (k) ЁC гамма-функция:
µ §
Если k ЁC целое неотрицательное число, то Г(k) = k!
Математическое ожидание случайной величины X, подчиненной гамма-распределению, равно: µ §
При этом дисперсия величины Х определяется по формуле: µ §
При целом k > 1 гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k-го порядка, т. е.
µ § (x>0; k=1,2,ЎK)
Закону Эрланга k-го порядка подчинена сумма независимых случайных величин х1, + х2 + ... + хк, каждая из которых распределена но показательному закону с параметром л.
При k = 1 гамма-распределение превращается в показательное с параметром л.
Показательное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение, если ее плотность распределения выражается формулой: .
µ § x>0
Положительная величина л является параметром показательного распределения.
Функция распределения случайной величины X выглядит следующим образом:
µ §
Графики функции и плотности показательного распределения приведены на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Графики показательного распределения
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей показательное распределение, обратно его параметру, т. е. µ §
Дисперсия случайной величины X, имеющей показательное распределение, равна µ §
Отсюда µ § т.е. µ §
Коэффициент вариации случайной величины Х, имеющей показательное распределение, равен единице: µ §
Существует важное соотношение между пуассоновским и экспоненциальным распределениями. Если случайная величина подчинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в единицу времени, то случайная величина, которая определяет промежуток времени между двумя последовательными отказами, распределена по экспоненциальному закону. Экспоненциальное распределение можно, в сущности, вывести из распределения Пуассона.
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если на этом отрезке плотность распределения постоянна, а вне его равна нулю.
µ §
Кривая равномерного распределения показана на рис. 1.9.
Рис. 1.9. Кривая равномерного распределения
Значения f(х) в крайних точках а и b участка (а, b) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины X равна нулю.
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [a, b], равно: µ §.
Дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [a, b], вычисляется по формуле: µ §.
Отсюда µ §
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на участок [a, b]: µ §.
Пример 1.7. Троллейбусы прибывают на остановку через 4 мин. Какова вероятность того, что время ожидания троллейбуса не превысит 3 мин?
Решение
Так как (в - б) = 3 мин., a (b - а) = 4 мин., то P(0< X <3) = 3/4= 0,75
Выбор теоретического закона распределения случайной величины
При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть определены в первом приближении по таблице 1.2.
Для более точного определения теоретического закона распределения проводят дополнительную статистическую обработку данных. При обработке статистических данных решают вопрос о том, как подобрать для исходного статистического ряда теоретическую кривую распределения, которая выражала бы лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, обусловленные недостаточным объемом выборки экспериментальных данных. Под построением теоретической кривой распределения понимается такая обработка статистических данных, когда обеспечивается подбор наиболее подходящего теоретического закона распределения, который может быть задан либо функцией распределения F(х), либо плотностью распределения f(х).
Таблица 1.2
Законы распределения случайной положительной величины в зависимости от коэффициента вариации
Пределы изменения коэффициентаЗакон распределения случайной величины Хвариации VxVx =< 0,3Нормальный0,3 < Vx < 0,4Гамма-распределение0,4 =< Vx < 1ВейбуллаVx = 1Экспоненциальный, пуассона
Для построения теоретической кривой распределения исходный статистический ряд распределения аппроксимируется одной из дифференциальных функций теоретического распределения f(х). При этом выбирается такая функция f(х), которая обеспечивала бы максимальное приближение теоретических данных к эмпирическим f(х)ЎЦf*(x). Для оценки правдоподобия этого приближенного равенства разработано несколько критериев согласия проверяемых гипотез относительно вида функции f(х).
Наиболее употребительными критериями согласия являются критерий ч2 К. Пирсона и критерий А.Н. Колмогорова.
Задачи по теме «Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем» представлены в Приложении 1 учебного пособия.
Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов
1.2.1. Основные понятия марковских процессов
Функция X(t)называется случайной, если ее значение при любом аргументе X является случайной величиной.
Случайная функция X(t), аргументом которой является время, называется случайным процессом.
Марковские процессы являются частным видом случайных процессов. Особое место марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для марковских процессов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать многие практические задачи; с помощью марковских процессов можно описать (точно или приближенно) поведение достаточно сложных систем.
Случайный процесс, протекающий в какой-либо системе S, называется марковским (или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени to вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние.
Классификация марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности или дискретности множества значений функции Х(t) и параметра t.
Различают следующие основные виды марковских случайных процессов:
с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);
с непрерывными состояниями и дискретным временем (марковские последовательности);
с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова);
с непрерывным состоянием и непрерывным временем.
Марковские процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью графа состояний (рис. 1.10), где кружками обозначены состояния S1 , S2,ЎK,системы S, а стрелками ЁC возможные переходы из состояния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. Возможные задержки в прежнем состоянии изображают «петлей», т. е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным).
Рис. 1.10. Граф состояний системы S
Марковские цепи
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Для такого процесса моменты t1,t2,ЎK, когда система S может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время t, а номер шага 1, 2, .... k, ... Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний S(0), S(1), S(2), S(k), где S(0) ЁC начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1) ЁC состояние системы после первого шага; S(k) - состояние системы после k-го шага.
Событие {S(k) = Si}, состоящее в том, что сразу после k-го шага система находится в состоянии Si (i= 1, 2, ...), является случайным событием. Последовательность состояний S(0), S(1),ЎK,S(k) можно рассматривать как последовательность случайных событий. Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si в любое Sj не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si. Начальное состояние S(0) может быть заданным заранее или случайным.
Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятности Pj(k) того, что после k-го шага (и до (k+1)-го) система S будет
находиться в состоянии Si (i=1,2,ЎK,п). Очевидно, для любого k
µ §
Начальным распределением вероятностей марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса P1(0), P2(0), ЎK, Pi(0), ЎK, Pn(0).
В частном случае, если начальное состояние системы S в точности известно S(0) = Si, то начальная вероятность Pi(0)= 1, а все остальные равны нулю.
Вероятностью перехода (переходной вероятностью) на k-м шаге из состояния Si в состояние Sj называется условная вероятность того, что система S после k-го шага окажется в состоянии Sj при условии, что непосредственно перед этим (после k - 1 шага) она находилась в состоянии Si.
Поскольку система может пребывать в одном из п состояний, то для каждого момента времени t необходимо задать n2 вероятностей перехода Pij, которые удобно представить в виде матрицы переходных вероятностей:
µ §
где Pij - вероятность перехода за один шаг из состояния Si в состояние Sj,
Pij ЎЄ вероятность задержки системы в состоянии Sj.
Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь Маркова называется однородной.
Переходные вероятности однородной марковской цепи Pij образуют квадратную матрицу размера nxn, особенности которой заключаются в следующем:
каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного (из i-го) состояния, в том числе и переход в самое себя;
элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное (j-е) состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец ЁC в состояние);
сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:
µ §
по главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности Рij того, что система не выйдет из состояния Si, а останется в нем.
Если для однородной марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей и матрица переходных вероятностей ||Рij||, то вероятности состояний системы Pi(k)(µ §;µ §) определяются по рекуррентной формуле:
µ § µ §
Пример 1.8. Рассмотрим процесс функционирования системы - автомобиль. Пусть автомобиль (система) в течение одной смены (суток) может находиться в одном из двух состояний: исправном (S1) и неисправном (S2). Граф состояний системы представлен на рис. 1.11.
Рис. 1.11. Граф состояний автомобиля
В результате проведения массовых наблюдений за работой автомобиля составлена следующая матрица вероятностей перехода:
µ §
где Р11 = 0,8 ЁC вероятность того, что автомобиль останется в исправном состоянии;
Р12 = 0,2 ЁC вероятность перехода автомобиля из состояния «исправен» в состояние «неисправен»;
Р21 = 0.9 ЁC вероятность перехода автомобиля из состояния «неисправен» в состояние «исправен»;
Р22 = 0,1 ЁC вероятность того, что автомобиль останется в состоянии «неисправен».
Вектор начальных вероятностей состояний автомобиля задан µ §µ §.
Требуется определить вероятности состояний автомобиля через трое суток.
Решение
Используя матрицу переходных вероятностей, определим вероятности состояний Pi(k) после первого шага (после первых суток):
Р1(1) = Р1(0)*P11 + P2(0)* P21 =0*0,8+1*0,9=0,9
Р2(1) = Р1(0)*Р12 + Р2(0)*Р22 = 0 *0,2 + 1*0,1 = 0,1.
Вероятности состояний после второго шага (после вторых суток) таковы:
Р1(2) = Р1(1)* Р11 + Р2(1)* Р21 = 0,9* 0,8 + 0,1*0,9 = 0,81;
Р2 (2) = Р1(1)*Р12 + Р2(1)* Р22 = 0,9* 0,2 + 0,1* 0,1 = 0,19.
Вероятности состояний после третьего шага (после третьих суток) равны:
Р1 (3) = Р1(2)* Р11+ Р2(2)* Р21 = 0,81* 0,8 + 0,19* 0,9 = 0,819;
Р2 (3) = Р1(2)* Р12 + Р2(2)* Р22 = 0,81* 0,2 + 0,19 * 0,1 = 0,181.
Таким образом, после третьих суток автомобиль будет находиться в исправном состоянии с вероятностью 0,819 и в состоянии «неисправен» с вероятностью 0,181.
Непрерывные цепи Маркова
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова при условии, что переход системы из состояния в состояние происходит не в фиксированные, а в случайные моменты времени.
В экономике часто встречаются ситуации, которые указать заранее невозможно (например, любая деталь или агрегат автомобиля могут выйти из строя в любой, непредсказуемый заранее момент времени). Для описания таких систем в отдельных случаях можно использовать математический аппарат непрерывной цепи Маркова.
Пусть система характеризуется п состояниями S0, S1, S2, ЎK, Sn, а переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Обозначим через Pi(t) вероятность того, что в момент времени t система S будет находиться в состоянии Si (i = 0,1, ....,n). Требуется определить для любого t вероятности состояний P0(t), P1(t), .... Рn(t). Очевидно, что µ §.
Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей Рij рассматриваются плотности вероятностей перехода лij, представляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за время Дt из состояния Si в состояние Sj к длине промежутка Дt:
µ §,
где Рij (t, Дt) - вероятность того, что система, пребывавшая в момент t в состоянии Si за время Дt перейдет из него в состояние Sj (при этом всегда i Ѓ‚ j).
Если лij = const то процесс называется однородным, если плотность вероятности зависит от времени лij = лij (t), то процесс - неоднородный. При рассмотрении непрерывных марковских процессов принято представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим через случайные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется как интенсивность лij соответствующих потоков событий. Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S, будет марковским.
При изучении марковских случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в графе состояний над стрелками, ведущими из состояния Si в Sj, проставляют соответствующие интенсивности лij. Такой граф состояний называют размеченным (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Граф состояний системы
Задачи по теме «Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов» представлены в Приложении 1 учебного пособия.
|
