Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение)






Скачать 87.96 Kb.
НазваниеРешение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение)
Дата публикации31.01.2015
Размер87.96 Kb.
ТипРешение
e.120-bal.ru > Математика > Решение
Лекционно-практическое занятие по теме "Математическое моделирование при изучении теории вероятностей.

Термины «модель» и «моделирование» имеют своим источником латинское слово тоди -мера, образ, способ. В современной образовательной системе моделирование является основным методом научного познания. Вместе с этим моделирование в обучении является и главным средством развития личности, особенно в плане интеллектуализации психической деятельности. В проекте общегосударственного стандарта по математике присутствует лишь фраза о том, что выпускник средней школы «должен получить представление о методе математического моделирования как способе научного познания».В месте с этим моделирование должно стать основным методом и способом математической деятельности. Моделирование является ещё и универсальным средством решения проблемных ситуаций в практике.

В научно-образовательной системе моделирование как учебное действие выполняет следующие функции:

1)познавательная- как средство приобретения новых знаний и умений;

2)эвристическая – как способ решения проблемных ситуаций;

3)иллюстративная – как наглядное средство выделения и фиксации объектов, понятий, фактов, явлений;

4)систематизирующая – как средство упорядочевания и уплотнения системы знаний и умений;

5)развивающая – как средство формирования интеллекта и творческих способностей;

6)эстетическая – как средство воспитания культуры личности

Школьники постоянно имеют дело на уроках математики с математическими моделями, даже не догадываясь об этом. Большинство из них полагает, что таковыми являются только наглядные материальные модели шаров, кубов и др.

Различают два основных типа моделирования:

-предметно- наглядное (визуальное);

-абстрактно- знаковое на том или ином условном языке.

Разница между ними достаточно условна и зависит от уровня абстракции.

Моделирование в обучении имеет несколько аспектов:

-цель обучения;

-предметное содержание процесса обучения;

- учебное действие, являющееся составной частью деятельности;

-общенаучный метод познания;

-средство обучения.

Использование моделирования позволяет организовать учебную деятельность на более сознательном и продуктивном уровне. Модели используют для замещения изучаемого объекта (понятия) каким-то другим, более удобным и наглядным. Моделированию надо обучать как общему способу учебной деятельности.

В учебной практике применяется следующая схема моделирования реальной проблемной ситуации:

-формализация – перевод условия задачи на математический язык.

-решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение)

-интерпретация- перевод математического решения обратно на язык, на котором была сформулирована исходная проблема.

Ценность математической модели как в обучении, так и в познании заключается в её универсальности – одна и та же модель может описывать совершенно различные объекты и явления

«Математика случая» - так ещё в 17 веке назвал теорию вероятностей один из её основателей, французский учёный Блез Паскаль.

-Случай? А зачем его изучать? – спросите, может быть, вы. Оказывается, ещё в древности люди заметили, что случай – вовсе не исключение в жизни, а правило. Вот почему возникла наука о случайных явлениях. Знать законы случая необходимо.

Теория вероятностей – математическая наука, которая как раз и изучает математические модели случайных явлений. Вычисляет вероятности наступления определённых событий.

Попробуем решить несколько простых задач этой сложной науки.

1.Возьмите 7 кусков бумаги и скатайте из них 7 одинаковых шариков. На каждом напишите номер – 1, 2, …, 7. Три из них (1, 2, 3) пометьте чернилами – это будут «чёрные шары», а остальные – «белые». Теперь возьмите мешочек или ящичек – это будет ваша «урна» - и положите туда шары.

Начинаем опыт. Шарики надо перемешать и вытащить один. Посмотрите, какого он цвета, запишите цвет и положите шарик обратно. Снова перемешайте, достаньте шарик, заметьте цвет, положите обратно. Так можно делать много раз подряд . Мы хотим предсказать, сколько раз из 100 будет вынут чёрный шар. Какова его доля во всех опытах? Естественно, каждый раз результат зависит от случая – может попасться чёрный шар, а может белый. Но при большом числе опытов примерную долю чёрных шаров можно предсказать!

Каждый раз мы вынимали из урны либо первый шар, либо второй, либо третий, …, либо седьмой – всего семь возможных исходов каждого опыта. Шары тчательно перемешаны, на ощупь различить их нельзя, и нет никакой причины предпочесть один шар другому, значит, у всех одинаковые шансы быть вынутыми. Математики говорят так: все семь исходов равновозможны.

Теперь вам понятно, что каждый шар может появиться примерно в 1/7 части всех опытов, и,чем больше раз вы вынимаете шары, тем ближе к 1/7 доля любого из семи исходов.

Что же можно сказать о чёрном цвете? Он, очевидно, может в каждом опыте появиться одним из трёх способов, в трёх исходах из семи(ведь у нас три чёрных шара). Эти исходы называют благоприятными для появления чёрного шара.

В трёх исходах из семи, Значит, в среднем в 3/7 всех опытов вынут чёрный шар. И чем дальше, чем больше опытов, тем ближе его доля к 3/7!

Предельное значение – 3/7 – очень важно для нас. Это и есть вероятность появления чёрного шара.

Вот мы и получили основную формулу классической теории вероятностей.

Вероятность события = Число благоприятных исходов / Число всех равновозможных исходов.

Мы вывели эту формулу с помощью рассуждений. Можно ли утверждать, что мы доказали её, как доказывают теоремы в геометрии?.Нет, конечно, мы построили модель реального явления( выниманий шаров из урны). Модель подтверждается фактами и экспериментами. А с математической точки зрения формула даёт определение вероятности.В чём же тогда смысл формулы, почему она полезна? Справа стоит частное двух величин, каждую из которых мы можем подсчитать либо непосредственно, либо с помощью правил комбинаторики. А число слева связывает модель с реальным миром – оно говорит, какова примерно доля тех опытов, в которых осущесвляется рассматриваемое событие, среди всех опытов. Так комбинаторные подсчёты позволяют нам предсказывать некоторые результаты эксперимента. При этом мы, конечно, предполагаем равновозможность исходов.

2. Игральная кость – это кубик, на гранях которого написаны числа от 1 до 6. Если её бросить, то любая из 6 граней может оказаться верхней. Для правильной кости все эти шесть исходов равновозможны. Брошены независимо друг от друга две правильные кости. Найти вероятности того, что сумма очков на верхних гранях : а) меньше 9 ; б) больше 7; в) делится на 3; г) чётна.

Обсуждение. При бросании двух костей имеется 36 равновозможных исходов, поскольку имеется 36 пар, в которых каждый элемент – целое число от 1 до 6. Составим таблицу, в которой слева число очков на первой кости, вверху – на второй, а на пересечении строки и столбца стоит их сумма.




1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12


Непосредственный подсчёт показывает, что вероятность того, что сумма очков на верхних гранях меньше 9, равна 26/36 = 13/18; эта сумма больше 7 – 15/36 = 5/12; что она делится на 3: 12/36 = 1\3; наконец, что она чётна: 18/36 = ½.

3. Ученику 9 – го класса предстоит выбрать три предмета из ранее определённой им же группы учебных предметов ( химия, физика, биология, геометрия, география) для сдачи итоговой аттестации. Сколько вариантов решения существует у данной задачи?

Решим задачу методом перебора. Представим варианты перебора модельно .


геометрия

биология

география

химия

физика

биология

география

геометрия

физика

Набор предметов

биология

физика

география

геометрия

география

биология

физика

химия
Модель выбора предметов для сдачи итоговой аттестации

Необходимо заметить, что при разработке данной модели уже были учтены варианты повторов выбора экзаменов. Поэтому число выборов равно 10.

4.Чтобы подбодрить дочку, делающую успехи в шахматной игре, отец обещал купить ей новую куклу, если она выиграет подряд по крайней мере две партии против своего отца и дяди по одной из схем: отец – дядя – отец или дядя – отец – дядя. Дядя играет лучше отца. Какую схему следует выбрать дочке?

Решение. Пусть а есть вероятность того, что дочка выиграет у отца, а в есть вероятность её выигрыша у дяди. Чтобы заработать куклу, дочка может либо выиграть все три партии, либо выиграть первые две , а третью проиграть, либо первую проиграть, а вторую и третью выиграть. Если она действует по схеме отец – дядя – отец, то вероятность выигрыша трёх партий есть а2в, вероятности остальных двух событий равны а (1- а )в. Вероятность заработать куклу равна: а2 в + 2 а (1- а) в = ав (2 – а).

При схеме дядя – отец – дядя вероятность выигрыша трёх партий есть а в2 ,вероятность выиграть две партии есть 2 а в ( 1 – в ), соответственно вероятность получить куклу равна: а в2 + 2 а в ( 1 – в )= а в ( 2 – в). Поскольку дядя играет лучше отца, то в меньше а. Значит, 2 – в больше 2 - а, и вероятность получить куклу больше при схеме дядя – отец – дядя (хотя среднее число побед при этой схеме меньше!)

5.Выпускник средней общеобразовательной школы мечтает поступить в один из вузов России на бюджетной основе по результатам сдачи ЕГЭ по специальности « Мировая экономика». Для поступления в вуз необходимо представить сертификат сдачи ЕГЭ по трём предметам : математика, русский язык и один из спец. Предметов.

На юридическую специальность – это история или обществознание;

На мировую экономику – иностранный язык или обществознание;

На технические специальности – физика или химия.

Максимальный проходной балл по трём предметам на юридические специальности составляет 270 баллов, на мировую экономику – 240, на одну из технических специальностей – 280.

  1. Сможет ли он осуществить свою мечту , если наименьшее количество баллов составляет 75% от наибольшего количества?

  2. На какую из представленных специальностей сможет поступить ученик?

  3. Постройте примерную модель ближайшего будущего ученика, если результаты сдачи ЕГЭ выпускника школы следующие:

-Русский язык – 78 баллов; математика – 74 балла; история России – 82 балла; обществознание – 78 баллов; иностранный язык – 56 баллов; химия – 56 баллов

Проанализируем текст задачи. Он состоит из информации: максимальный балл на специальности: юриспруденция, мировая экономика; процент наименьшего проходного балла по сравнению с наибольшим по каждой из специальностей; результаты сдачи ЕГЭ по интересующим нас предметам. Кроме того в тексте задачи имеется дополнительная информация ( проходной балл по техническим специальностям и результаты сдачи ЕГЭ по химии и по физике), которая поможет ответить на второй вопрос задачи.

В третьем задании от ученика требуется смоделировать ситуацию по результатам ответов на первые два вопроса.

Решение . Первый блок действий: подсчёт общего числа баллов по трём предметам.

1)78 + 74 = 152 – общее число баллов по русскому языку и математике;

2)152 + 82 = 234 – общее число баллов по трём предметам ( с учётом истории ) для поступления на юридическую специальность.

3)152 + 78 = 230 – общее число баллов по трём предметам ( с учётом обществознания) для поступления на специальности юриспруденция или мировая экономика.

4)152 + 56 = 208 – общее число баллов по трём предметам( с учётом иностранного языка) для поступления на мировую экономику.

5)152 + 56 = 208 – общее число баллов по трём предметам ( с учётом химии ) для поступления на одну из технических специальностей.

Второй блок действий – подсчёт наименьшего проходного балла по каждой из представленных специальностей.

1)270 х 0,75 = 202,5 –наименьший проходной балл на юридическую специальность.

2)240 х 0,75 = 180 – наименьший проходной балл на мировую экономику.

3)280 х 0,75 = 210 – наименьший проходной балл на одну из технических специальностей.

Третий блок действий – сравнение результатов, полученных в первом и втором блоках действий.

1)234 больше 202,5 ,значит, выпускник школы может поступить на бюджетную основу на специальность «Юриспруденция».

2)230 больше 202,5, значит, выпускник может поступить на бюджетную основу на специальность «Юриспруденция».

3)208 больше180, значит, выпускник может поступить на бюджетную основу на специальность «Мировая экономика».

4)208 меньше210, значит, выпускник не сможет поступить на бюджетную основу на одну из технических специальностей.

Ответ : 1) да, выпускник сможет осуществить свою мечту – поступить на бюджетную основу на одну из интересующих его специальностей: юриспруденция, мировая экономика.

2)выпускник сможет поступить только на две из представленных специальностей: юриспруденция, мировая экономика.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение) iconТемы контрольных работ. Институты как решение проблемы мотивации:...
Институты лицензирования и стандартизации как механизм контроля качества в российской экономике

Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение) iconРешение парадоксов и проблем экономической теории Единое решение:...
С помощью кусочно-непрерывного приближения и принципа неопределенного будущего, выведено уравнение прогнозирования. В качестве приложений...

Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение) iconМежведомственное взаимодействие в деле создания новой библиотеки...
Но это вопросы глобальные, решение которых от нас почти не зависит, поэтому давайте обсудим проблемы, решение которых полностью зависит...

Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение) iconРешение пжг о конструктивном взаимодействии в рамках проекта реформирования...
Алоиз Вейс, руководитель Департамента экономики и управления Профсоюза железнодорожников Германии (пжг)

Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение) iconПояснительная записка. Курс «Окружающий мир и обж»
В XXI веке их решение приобретает характер фактора выживания человечества. Особую остроту экологические проблемы будут иметь в...

Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение) iconРешение вступает в силу после его официального опубликования. Решение...
Об утверждении Положения о порядке предоставления муниципальных гарантий муниципальным образованием Нижневартовский район

Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение) iconЕврофория испаряется, несмотря на решение по Греции. Фунт пляшет под дудку Банка Англии
Евро: Еврокомиссия опубликовала решение по Греции. Оэср просит ецб снизить процентную ставку

Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение) iconОдна из важнейших проблем, стоящих в России в настоящее время, жилищная....
Одна из важнейших проблем, стоящих в России в настоящее время, — жилищная. Решение жилищной проблемы в условиях рыночной экономики...

Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение) iconРешение одновременно как внутрикитайских, так и мировых проблем становится...
Круглый стол «Экономические, социально-политические, этноконфессиональные проблемы стран Востока»

Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение) iconАдизес. Как преодолеть кризисы менеджмента. Диагностика и решение...
Представляю вашему вниманию книгу Ицхака Адизеса. Как преодолеть кризисы менеджмента. Диагностика и решение управленческих проблем....






При копировании материала укажите ссылку © 2016
контакты
e.120-bal.ru
..На главную