Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном»






НазваниеРешение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном»
страница4/4
Дата публикации05.03.2016
Размер0.58 Mb.
ТипРешение
e.120-bal.ru > Математика > Решение
1   2   3   4
t,u. Обратным ходом выражаем главные неизвестные через свободные:

r = -t -2u,

p = -r-u = t+2u-u = t+u,

n = -t,

s = -t-u,

q = t+2u,

m = -n-p = t-t-u = -u.

Легко видеть, что, согласно этим формулам, центрально-симметричные неизвестные должны быть противоположными числами. Можно понять, что «угловое» свободное неизвестное u (которое должно выбираться из прогрессии (-4, -3, … , 4)), не может быть по модулю равно 4, так как не удастся обеспечить равенство нулю суммы элементов последнего столбца и одновременно последней строки, ибо (-4) можно «погасить» только суммой чисел 1+3, и тогда для «гашения» его в другом направлении остается только одно положительное число 2 и одно положительное число 4. В то же время ясно, что поворот любого магического квадрата на 90, 180 и 270 градусов по-прежнему оставляет его магическим. Таким образом, поставленная задача имеет четыре решения:

-1 4 -3 -3 2 1 1 -4 3 3 -2 -1

-2 0 2 4 0 -4 2 0 -2 -4 0 4

3 -4 1 -1 -2 3 -3 4 -1 1 2 -3

Первое и третье решения, а также второе и четвертое противоположны друг другу. Среднее число в 3-й строке равно значению t, последнее – значению u. Видно, что они разной четности.
ПРИМЕР 4. Метод Гаусса для системы с параметром.

Решить систему с параметром «а»:

ax + y +z = 1,

x + ay +z = a,

x + y +az = a2.

Запишем в матричном виде:

x y z Пр.ч.

a

1

1

1

1

a

1

a

1

1

a

a2

Поменяем местами 1-е и 3-е уравнения, чтобы не возникало вопроса о том, равен или не равен нулю первый диагональный элемент:

x y z Пр.ч.

1

1

a

a2

1

a

1

a

a

1

1

1

От второго уравнения отнимем 1-е. От 3-го отнимем 1-е, умноженное на «а»:
x y z Пр.ч.

1

1

a

a2

0

a-1

1-а

a-а2

0

1-а

1-а2

1-а3

Если а=1, то 2-е и 3-е уравнения надо отбросить как уравнения вида 0=0. После этого остается одно уравнение x+y+z=1 с двумя степенями свободы.

Если «а» не равно 1, то 2-е и 3-е уравнение можно сократить на (а-1):

x y z Пр.ч.

1

1

a

a2

0

1

-1

-a

0

-1

-1-а

-1-а-а2

К 3-му уравнению прибавим 2-е:

x y z Пр.ч.

1

1

a

a2

0

1

-1

-a

0

0

-2-а

-1-2а-а2

Если а=-2, то последнее уравнение имеет вид 0=-1, то есть система не имеет решений.

Если «а» не равно ни 1, ни -2, обратный ход позволяет найти единственное решение этой системы:

x = (-1-a)/(2+a),

y = 1/(2+a),

z = (1+a)2/(2+a).

Заслуживает также особого внимания значение a=0, ничем не примечательное с точки зрения метода Гаусса (если не считать, что именно из-за этого мы «на всякий случай» поменяли местами 3-е и 1-е уравнения): при этом «а» x = -1/2, y = 1/2, z =1/2. С точки зрения аналитической геометрии предыдущие три формулы определяют кривую в пространстве, заданную параметрически. При подходе к значению параметра а = -2 точка кривой удаляется в бесконечность. Поведение решений этой системы в окрестности значения а=1 требует изучения поведения точек в 4-мерном пространстве (x, y, z, a) и к исходной задаче не относится. Мы его делать не будем.
ПРИМЕР 5. Задача-шутка. Задать две плоскости с помощью линейных уравнений таким образом, чтобы они пересекались ровно в одной точке (а не по прямой, как это обычно бывает).

Решение.

Первая плоскость задается системой x+y+2z=4, x-y-u=-1.

Вторая плоскость задается системой 3x+4y+5z=12, 5x+5u=10.

Первая система линейная, решения ее имеют две степени свободы – значит, это действительно плоскость. То же верно и для второй системы. А то, что они пересекаются только в одной точке, мы докажем методом Гаусса, потребовав, чтобы все четыре уравнения выполнялись одновременно (см. ниже). Так в чем же шутка? Шутка в том, что обе эти плоскости расположены не в обычном пространстве, а в четырехмерном. Поэтому «увидеть» их было бы затруднительно. Но ведь в задаче этого и не требуется!

Итак, запишем матрицу системы четырех линейных уравнений:

x y z u Пр.части

1

1

2

0

4

1

-1

0

-1

-1

3

4

5

0

12

5

0

0

5

10

Вычитаем 1-е уравнение из 2-го:

x y z u Пр.части

1

1

2

0

4

0

-2

-2

-1

-5

3

4

5

0

12

5

0

0

5

10

Утроим 1-е уравнение и вычтем из 3-го, потом приведем 1-е уравнение в исходное состояние:

x y z u Пр.части

1

1

2

0

4

0

-2

-2

-1

-5

0

1

-1

0

0

5

0

0

5

10

Сократим на пять 4-е уравнение и вычтем из него 1-е:
x y z u Пр.части

1

1

2

0

4

0

-2

-2

-1

-5

0

1

-1

0

0

0

-1

-2

1

-2

Удвоим 3-е и 4-е уравнения, в 4-м поменяем знак (чтобы удобнее было создавать нули под диагональю во втором столбце):

x y z u Пр.части

1

1

2

0

4

0

-2

-2

-1

-5

0

2

-2

0

0

0

2

4

-2

4

Прибавим 2-е уравнение к 3-му и 4-му:

x y z u Пр.части

1

1

2

0

4

0

-2

-2

-1

-5

0

0

-4

-1

-5

0

0

2

-3

-1

Удваиваем 4-е уравнение и прибавляем к нему 3-е:

x y z u Пр.части

1

1

2

0

4

0

-2

-2

-1

-5

0

0

-4

-1

-5

0

0

0

-7

-7

Сокращаем последнее уравнение на (-7) и переходим к обратному ходу метода Гаусса. В данном случае свободные неизвестные отсутствуют, и получаем: u=1, z=1, y=1, x=1. Итак, данные две плоскости пересекаются в единственной точке (1, 1, 1, 1).
ПРИМЕР 6. От нелинейной системы – к линейной.

При каком значении положительного параметра «а» следующая нелинейная система имеет ровно два решения:

x2/25 + y2/16 = 1,

x2 + y2 = a2.

Обозначая x2 за u, y2 за v, решаем линейную систему

u/25+v/16=1,

u+v=a2.

Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на 25, получаем систему треугольного вида, имеющую единственное решение v=16(25–a2)/9, u=25(a2–16)/9. Так как u,v обозначают квадраты некоторых чисел, то эти переменные не могут быть отрицательными. Отсюда следует ограничение на параметр «а»: 16 ≤ a2 ≤ 25. Если оба эти неравенства строгие, то мы получим четыре разных решения. Если одно из неравенств превращается в равенство, то вместо четырех решений будет только два (так как корень из нуля имеет не два значения, а только одно). Итак, решениями задачи являются а=4 и а=5. (Рекомендуется нарисовать на плоскости две кривые второго порядка, которые образуют данную нелинейную систему, и понять, почему этот ответ является геометрически очевидным).
Для самостоятельного решения

Проверьте свои силы, решив методом Гаусса систему следующего вида (в этой системе «a» означает количество букв в Вашей фамилии, «b» – количество букв в Вашем имени. Если Вы чувствуете себя уверенно, можно решать эту систему сразу для всех a, b – то есть как систему с двумя параметрами):
x +ay + (b+1)z = a+b,

x + y +az = a-b,

ax – y + bz = a,

(a+2)x + ay + (a+2b+1)z = 3a.
Желаю успеха!
1   2   3   4

Похожие:

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconОсобенности применения модели Гордона при оценке стоимости объектов недвижимости
Ддп для определения стоимости неизнашиваемых активов [1 и др.]. По своей сути формула модели Гордона представляет собой сумму бесконечного...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconЗадача рационального поведения потребителя на рынке и ее решение...
Экономические системы: структура, виды, историческое место. Способы и критерии типологизации экономических систем

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconЦель урока: подчеркнуть нарастающую необходимость современности «жить...
«природа — идеальный мир» (гармония природы, сбалансированность природных процессов «так было, есть и должно быть всегда!»)

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconНепрерывные случайные величины. Закон Гаусса. Правило 3-х сигм
Закон Гаусса. Пусть Х – значение непрерывной случайной величины, dx- малый интервал, то вероятность dP того, что Х находится в интервале...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconРешение парадоксов и проблем экономической теории Единое решение:...
С помощью кусочно-непрерывного приближения и принципа неопределенного будущего, выведено уравнение прогнозирования. В качестве приложений...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconПо следам викингов: поиски гена близнецовости джон Сент Клер*, М. Д. Голубовский**
Дз близнецы возникают из двух разных оплодотворенных яйцеклеток и различны между собой как братья и сестры. Сравнение мз и дз близнецов...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconДипломная р абот а студента 5 курса В581
Охватывается функцией планирования. Единство планов значит общность финансовых целей и связь всех составляющих системы. Связь между...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» icon1. Понятие и структура экономических систем общества
В переводе с греческого "система" означает некое целое, состоящее из частей, связанных между собой и образующих целостность

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» icon456080 Челябинская обл, г. Трёхгорный, ул. Ленина д. 8 кв. 14 sch109@trg ru
Общества процветают, когда убеждения и технологии согласны между собой; они приходят в упадок, когда неизбежные изменения убеждений...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconРоссийская империя и Австро-Венгерская монархия
«Повседневность между боями: неизвестные фотографии венгерского графа Дюлы Каройи о Восточном фронте»






При копировании материала укажите ссылку © 2016
контакты
e.120-bal.ru
..На главную