Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном»






НазваниеРешение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном»
страница1/4
Дата публикации05.03.2016
Размер0.58 Mb.
ТипРешение
e.120-bal.ru > Математика > Решение
  1   2   3   4
Файл «МетодГауссаЛинСист»

В.В.Савватеев (30.01.2010)

Решение линейных систем методом Гаусса

Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, v, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 (то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число («коэффициент при неизвестном»), а результаты складываются и приравниваются к тоже известному числу («правая часть уравнения»)). Коэффициенты и правые части могут быть любыми числами. В связи с этим линейные уравнения могут не иметь ни одного решения (например, 0u = 5), иметь одно решение (например, 10u = 5) и иметь много решений (например, уравнение 3u + 7v + 6w + 2z = 15 имеет решения (5, 0, 0, 0), (0, 0, 5/2, 0) и многие другие). Легко видеть, что это уравнение имеет не просто много решений, а бесконечно много решений. Например, можно задать произвольным образом значения u, v, w, а значение “z” подобрать таким образом, чтобы сумма чисел в левой части уравнения оказалась равной 15-и. Можно выбирать произвольно и другие три неизвестных (например, u, v, z). Если взять u=7, w=0, z=4, то можно вычислить, что v= -2. (В  данном случае получилось так называемое целочисленное решение уравнения, а именно (7, -2, 0, 4). В экономических задачах в результате решения системы часто должны получаться не просто решения, а обязательно целочисленные – и часто эти целые числа не должны быть отрицательными).

Так как в уравнении 3u + 7v + 6w + 2z = 15 три неизвестных можно выбрать свободно, а четвертое определяется однозначно, то говорят, что «множество решений этого уравнения имеет три степени свободы». Отметим, что множество решений с одной степенью свободы можно представлять себе в виде точек кривой линии (которая случайно может оказаться «распрямленной кривой», то есть прямой). Например, множество решений нелинейного уравнения x2 + y2 = 25 состоит из точек окружности радиуса 5, которая лежит на плоскости. Нелинейные системы уравнений имеет много свойств, отличающих их от линейных систем. Например, линейное уравнение (или линейная система уравнений) не может иметь ровно два различных решения – если решений имеется хотя бы два, то обязательно имеется и бесконечное количество решений. Нелинейное уравнение же может иметь ровно два решения – например, x2 = 9.

Две системы уравнений называются эквивалентными, если каждое решение первой системы является решением второй, а каждое решение второй является также решением первой. Желательно решать системы таким методом, чтобы на каждом шаге решения мы переходили от прежней системы к новой, причем новая была бы эквивалентной предыдущей системе (но имела более простой вид). К сожалению, для нелинейных систем нет таких удобных методов решения. Как правило, в процессе преобразований системы либо теряются прежние корни, либо приобретаются посторонние корни. Но если изучать только системы линейных уравнений (а начинать надо именно с таких систем), то вопрос о наличии решений, а также об их количестве и о формулах, которые выражают общее решение, можно решить, используя логичный и удобный метод Гаусса, который ведет нас от исходной системы к новой, эквивалентной ей, и шаг за шагом (делая простые арифметические преобразования) приводит к полному выяснению вопроса о решениях данной системы. Единственное, что нужно для успешного доведения до конца метода Гаусса – это твердое знание нескольких простых правил, которые предложил использовать Гаусс (и которые ни в коем случае нельзя изменять «по своему усмотрению»), а также внимание и собранность. Метод Гаусса можно применять на листе бумаги или использовать компьютер (скажем, пакет Excel и даже пакет Word). И в том, и в другом случае преподавателю надо предъявить промежуточные вычисления, иначе невозможно будет понять, где совершена ошибка. Отнеситесь к этому вопросу серьезно, так как метод Гаусса используется при решении очень многих задач геометрии, физики, экономики и т.д. Поэтому его принято проверять персонально у каждого студента, давая ему все новые и новые попытки решить систему методом Гаусса, пока этот метод не будет им освоен. ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. Нелинейные системы нельзя решать методом Гаусса. Однако знание метода Гаусса для линейных систем иногда помогает разобраться до конца и с решениями нелинейных систем. А именно, среди нелинейных уравнений часть уравнений может оказаться линейными («линейная часть нелинейной системы»), а другая часть уравнений может быть сведена к линейным с помощью замены переменных. Так что на зачете могут быть предложены и такие задачи: «Решить нелинейную систему путем сведения ее к линейной».

Мы будем рассматривать решение системы из N линейных уравнений с k неизвестными. При этом допускаются все возможные случаи: и Nk. Не следует думать, что при N>k система обязательно не будет иметь решений. Легко привести пример, когда она будет иметь много решений:

2u + v + 3w + z = 1

5u + v + 3w – z = 2

u + v + w + z = 0

-3u + 2z = –1

8u + 3v + 7w + z = 3
В самом деле, для этой системы N=5, k=4. Но главную роль играет не общее количество уравнений, а количество независимых уравнений n. В данном случае первые три уравнения независимы, а 4-е и 5-е уравнения зависят от них (4-е равно разности 1-го и 2-го, а 5-е равно сумме 1-го, 2-го и 3-го). Поэтому последние два уравнения не несут никакой новой информации о поведении неизвестных, и их в методе Гаусса просто отбрасывают. Исходное количество степеней свободы здесь равно четырем, так как имеется 4 неизвестных. (Математики говорят в этом случае, что «решение данной системы является точкой четырехмерного пространства»). Каждое независимое уравнение уменьшает число степеней свободы на единицу. Остается N – n степеней свободы, то есть в данном случае 5 – 3 = 2 степени свободы. Значит, множество точек, являющихся решениями этой системы, надо представлять себе в виде плоскости. Правда, плоскость эта расположена в четырехмерном пространстве, так что «увидеть» ее довольно трудно. Но все ее свойства такие же, как и у обычной плоскости.

К сожалению, хотя число N всегда бывает известно заранее, но число n найти трудно. Во-первых, встречаются системы уравнений, которые сами себе противоречат (например, такая система из двух уравнений: x+y=5, 2x+2y=5). Подобные системы не имеют решений, но как выявить противоречие? Оно ведь не для всех систем так очевидно, как для этой. Во-вторых, если противоречия между уравнениями и нет, то как узнать, какие уравнения надо вычеркнуть, потому что они зависимы от остальных? На оба вопроса дает ответ так называемый прямой ход метода Гаусса, а именно – «создание нулей под диагональю» (он будет подробно объяснен ниже). При осуществлении прямого хода часть уравнений примет вид «0 = 0», и все такие уравнения надо вычеркнуть, так как они зависимы от других уравнений. Другие уравнения могут принять вид «0 = с», где с – не равное нулю число. Если встретится хотя бы одно такое уравнение, то система сама себе противоречит, и далее решать ее не имеет смысла. Допустим, что такой случай нам не встретился. Тогда прямой ход метода Гаусса даст нам новую систему, эквивалентную исходной. В ней останется только n уравнений (и все они будут независимы). В этом случае обязательно будет выполняться неравенство nn=k. В первом случае система имеет бесконечное количество решений с k–n степенями свободы. Во втором – система имеет единственное решение (то есть нет ни одной степени свободы). В обоих случаях после прямого хода метода Гаусса надо выполнить обратный ход. Он заключается в том, что происходит движение снизу вверх, в процессе которого все несвободные неизвестные выражаются через свободные. (Несвободные неизвестные принято называть «главными»). Как отделить главные неизвестные от свободных, будет пояснено ниже. Это отделение можно сделать только после завершения прямого хода метода Гаусса.

Некоторые понятия, необходимые для изложения сути прямого хода метода Гаусса

Прямоугольная таблица, заполненная числами, называется матрицей. Матрицы бывают прямоугольного вида, квадратного, в виде строки и в виде столбца. Запись «матрица типа (6,4)» означает, что в этой матрице имеются 6 строк и 4 столбца. У такой матрицы имеются четыре диагонали. Диагональ матрицы – это воображаемая линия, выходящая из угла матрицы под углом 45 градусов к сторонам этого угла. Элементы матрицы, попадающие на эту диагональ, называются диагональными элементами. (Например, в матрице (2,2) все элементы диагональны). Диагональ, выходящая из левого верхнего угла матрицы, называется главной диагональю. Она используется чаще всего. Остальные диагонали называются «побочными» и используются редко. Если не указано, про какую именно диагональ идет речь, то имеется в виду главная диагональ. Элементы главной диагонали отличаются тем, что у них номер строки равен номеру столбца. Иногда некоторые диагонали матрицы совпадают (в том смысле, что обе они состоят из одинаковых элементов матрицы), и вместо четырех получается две разных диагонали. Такое явление имеет место для квадратных матриц, матриц-строк и матриц-столбцов. (Для матриц типа (1,1) все четыре диагонали совпадают; но такие простые матрицы на практике не используются). Ниже выделены подчеркиванием диагональные элементы матрицы (3,7) (на главной диагонали стоят числа 7, 2, 0):

7 7 6 3 0 3 6

2 2 5 1 9 4 6

1 0 0 7 3 8 5

Элемент «2» относится и к главной, и к побочной диагонали. Матрица, состоящая из одних нулей, называется «нулевой». Квадратная матрица, у которой на диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю, называется «единичной». Любую линейную систему из N уравнений с k неизвестными можно кратко изобразить с помощью комбинации двух матриц: матрицы (N,k), составленной из коэффициентов при неизвестных (матрица коэффициентов), и матрицы (N,1), составленной из правых частей уравнений (столбец правых частей). Из этих двух матриц составляется расширенная матрица системы типа (N, k+1). Чтобы не забыть, какими буквами обозначены неизвестные, и в каком порядке они следуют (так как в процессе прямого хода метода Гаусса порядок следования может меняться), их записывают над верхней строкой расширенной матрицы. Например, приведенная выше система 5 уравнений с четырьмя неизвестными u, v, w, z записывается в виде такой расширенной матрицы:

u v w z Прав.части

2

1

3

1

1

5

1

3

-1

2

1

1

1

1

0

-3

0

0

2

-1

8

3

7

1

3

При выполнении прямого хода метода Гаусса рекомендуется подготовить несколько (порядка пяти) «заготовок» такого вида, причем высоту и ширину каждой ячейки желательно брать с запасом, так как старые числа придется вычеркивать, а вместо них вписывать новые. ВНИМАНИЕ! Старые числа надо именно вычеркивать, а не стирать вообще – иначе не удастся проверить правильность прямого хода.

Расширенную матрицу надо постепенно преобразовывать таким образом, чтобы на диагонали матрицы коэффициентов оказались ненулевые числа, а под диагональю – нулевые. При этом надо действовать так, чтобы после каждого шага новая система уравнений была эквивалентна исходной. (Числа, стоящие выше диагонали, могут быть как нулевыми, так и ненулевыми). Разрешается делать только такие преобразования расширенной матрицы системы, которые перечислены ниже.

ПРЯМОЙ ХОД метода Гаусса

1.. Любые две строки можно поменять местами. (Это преобразование, очевидно, не меняет решений исходной системы, так как уравнения можно записывать в любом желаемом порядке).

2.. Любые два столбца матрицы коэффициентов можно поменять местами (так как неважно, в каком порядке записывать неизвестные). Например, если есть желание поменять местами неизвестные “v” и “z” в показанной выше матрице, то надо поменять местами 2-й и 4-й столбец, не забыв при этом над новым вторым столбцом записать букву z, а над новым четвертым столбцом – букву v.

3.. Любое уравнение можно умножить или поделить на любое ненулевое число. (Эта операция является подготовительной для успешного выполнения четвертого преобразования, которое является главным «инструментом» прямого хода метода Гаусса и повторяется многократно).

4.. К любому уравнению можно прибавить любое другое, умноженное на любое число. (Пояснение. Скажем, к 3-му уравнению (то есть к 3-й строке расширенной матрицы) можно прибавить 2-е, умноженное на (-7). При этом 3-е уравнение изменится, а 2-е останется прежним!).

Остается неясным, какое же уравнение надо изменить, а также с помощью какого другого уравнения его изменять, и на какое число домножить другое уравнение. Основной целью прямого хода является создание нулей под диагональю, а именно: сначала создаем нули под первым диагональным элементом (сам он должен при этом не равняться нулю, что достигается применением либо свойства 1.. , либо свойства 2..), затем – под вторым диагональным элементом (который к этому моменту уже сделан неравным нулю с помощью 1.. или 2.. ), и так далее до конца.

Что же будет концом этого процесса? Во-первых, ненулевые диагональные элементы могут дойти до самого последнего уравнения системы. После этого надо начинать описанный ниже «обратный ход». Во-вторых, на очередном шаге мы, быть может, не сумеем сделать диагональный элемент ненулевым ни с помощью 1.. , ни с помощью 2.. (ведь менять местами можно только оставшиеся внизу уравнения (предыдущие трогать нельзя, чтобы не испортить уже полученные нули под диагональю), либо только оставшиеся справа неизвестные (по той же причине)). Но правый нижний угол матрицы коэффициентов, как назло, может состоять из одних нулей. Что же делать в этом случае? В этом случае последние уравнения имеют вид либо «0 = 0» , либо «0 = с», где с – ненулевое число. Эти два случая могут чередоваться в любом порядке. Если хотя бы один раз встречается «0 = с», эта система (а вместе с ней и исходная система) не имеет решения, на чем метод Гаусса и заканчивается. А если все случаи будут типа «0 = 0», эти уравнения надо отбросить, как не влияющие на запись решения исходной системы (и перейти к обратному ходу). В-третьих, ненулевые диагональные элементы могут дойти не до самого последнего уравнения, а до самого последнего неизвестного, то есть упереться в правую границу матрицы коэффициентов. В этом случае последние уравнения тоже имеют вид либо «0 = 0» , либо «0 = с», где с – ненулевое число. И рассуждения будут такие же: либо исходная система не имеет решений, либо можно отбросить все оставшиеся уравнения, так как все они будут иметь вид «0 = 0». После этого надо приступить к обратному ходу метода Гаусса.

ОБРАТНЫЙ ХОД метода Гаусса

Когда прямой ход завершен (а его можно завершить всегда, как пояснено выше), мы уже четко знаем, какие неизвестные «главные» и какие «свободные». А именно, все неизвестные, для которых удалось найти ненулевой диагональный элемент, надо считать главными, а все остальные – свободными (мы перенесем их в правую часть каждого из уравнений, получившихся по окончании прямого хода). После перенесения свободных неизвестных вправо мы как бы считаем их известными, но произвольными. Система принимает так называемый «верхний треугольный вид», поскольку под диагональю находятся созданные нами нули, а уравнения «0 = 0» мы отбросили. Например:

v y w Прав.части

1

-3

-2

16-u+2z

0

-6

17

11+z

0

0

3

1-u-z


В обычной (нематричной) записи уравнения получившейся системы имеют вид:

v -3y -2w = 16 –u +2z,

-6y +17w = 11 +z,

3w = 1 –u +z.

Обратный ход заключается в том, что мы двигаемся по этой «треугольной» системе снизу вверх и выражаем каждое из главных неизвестных (то есть последнее неизвестное w, предпоследнее y, первое неизвестное v) через свободные неизвестные (u, z). Получаем: w = (1 –u +z)/3 (это выражение будет использовано в следующих двух строках);

y = (11 +z -17w)/(-6) = (11 +z -17/3 + (17/3) u –(17/3)z)/(-6) = (16 +17u -14z)/(-18) ;

v = 16 –u +2z +3y +2w = 16 –u +2z + (16 +17u -14z)/(-6) + (2 -2u +2z)/3 = 14 – (9/2)u +5z .

На этом обратный ход заканчивается (а вместе с ним заканчивается и метод Гаусса). Мы теперь знаем ответы на все три вопроса: 1) эта система имеет решения; 2) решений – бесконечное количество (с двумя степенями свободы); 3) в качестве свободных неизвестных можно выбрать u, z; формулы, выделенные жирным шрифтом, позволяют выразить главные неизвестные через свободные, то есть позволяют получить любое решение этой системы. Обратите внимание, что все вычисления делались в виде обыкновенных дробей (а не десятичных, как это обычно делают студенты). Поэтому все решения можно выразить точно (а не приближенно). Точные решения можно проверить непосредственной подстановкой в исходную систему и тем самым убедиться, что в применении метода Гаусса не сделано арифметических ошибок, описок и т.п.

Осталось усвоить последнюю (но самую главную) процедуру в методе Гаусса.
СОЗДАНИЕ НУЛЕЙ ПОД ДИАГОНАЛЬЮ

Начнем с простого примера. Создать нуль под диагональю в системе

13x +6y = 15,

4x -5y = 2.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

x y

13

6

15

4

-5

2

Ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на (-4/13) (см. свойство 4..) :

x y Прав.части

13

6

15

4 -4

-5-(24/13)

2-(60/13)

Поставленная задача решена: под диагональю получилось число 4 – 4, то есть 0. Но «в наказание» за это второй коэффициент (а также правая часть) стали громоздкими дробями. К сожалению, для систем с тремя–четырьмя неизвестными метод Гаусса может привести и к гораздо более сложным дробям. Хотелось бы применять метод Гаусса таким образом, чтобы для систем с целыми коэффициентами дроби либо вообще не появлялись, либо (если уж без них не удастся обойтись) появлялись только при обратном ходе метода Гаусса (который намного проще прямого).

Сделать это можно так: сначала надо первое уравнение умножить на (-4), а второе – на 13:

x y

-52

-24

- 60

52

-65

26

Затем надо ко второму уравнению прибавить первое, умноженное на единицу (свойство 4.. ), а потом первое уравнение умножить на (-13/4) (свойство 3.. ), от чего оно вернется в исходное состояние:

x y

13

6

15

0

-89

-34

С помощью обратного хода получаем ответ: y = 34/89 , x = (15–6y)/13 = 1131/(13*89) = 87/89.

Проверим, что пара дробей (87/89, 34/89) отвечает уравнению 13x+6y=15.

Для этого достаточно убедиться, что 13*87 + 6*34 = 15*89. Это легко проверить на калькуляторе.

Для полной уверенности в правильности решения надо было бы проверить и выполнение другого уравнения, но мы не будем этого делать.

Таким образом, когда коэффициенты являются целыми, решения целыми быть не обязаны. При наличии свободных неизвестных можно попытаться их подобрать так, чтобы найти целое решение системы. Иногда требуется, чтобы оно было целым неотрицательным. Такие задачи, кроме использования метода Гаусса, требуют применения еще и других соображений (примеры будут даны ниже). Иногда одно из уравнений системы имеет хотя и целые коэффициенты, но они намного превышают коэффициенты прочих уравнений. Тогда удобно это уравнение временно отбросить, в оставшихся уравнениях выразить главные неизвестные через свободные методом Гаусса, а потом полученные формулы подставить во временно отброшенное уравнение.

ПРИМЕР 1.

На заводе наглядных пособий изготавливаются модели различных геометрических фигур: октаэдра, тетраэдра, куба, квадрата и других. В качестве вершин используются свинцовые дробинки, в качестве ребер – жесткие спицы, в качестве граней – соответствующие правильные многоугольники из жести. Школа закупила на складе завода некоторое количество октаэдров по 337 руб., тетраэдров по 205 руб., кубов по 330 руб. и квадратов по 141 руб. Общая стоимость закупленных моделей составила 9353 рубля. Общее количество граней на закупленных фигурах равно 164, общее количество ребер 308, общее количество вершин 210. Рассчитать по этим данным, сколько было закуплено октаэдров (x), тетраэдров (y), кубов (z) и квадратов (w).

Решение.

Сначала составим по этим данным линейную систему 4-х уравнений с четырьмя неизвестными, затем решим ее методом Гаусса, а затем попытаемся выяснить вопрос, имеет ли эта задача целые неотрицательные решения (только такие решения нам подойдут).

Напомним, что у октаэдра имеется 6 вершин, 12 ребер и 8 граней. У тетраэдра имеется 4 вершины, 6 ребер и 4 грани. У куба их 8, 12 и 6. Наконец, у квадрата есть 4 вершины, 4 ребра и 1 грань.

Первое уравнение имеет вид 337x + 205y + 330z + 141w = 9353, так как при умножении количества моделей данного вида на их стоимость получается общая сумма денег, потраченных на модель данного вида. Второе уравнение получается путем подсчета общего количества граней: 8x + 4y + 6z + w = 164. Далее получаем уравнение общего количества ребер: 12x + 6y + 12z + 4w = 308. Подсчет вершин дает уравнение 6x + 4y + 8z + 4w = 210. Итого получилось 4 линейных уравнения с четырьмя неизвестными. Однако первое уравнение имеет более крупные коэффициенты, и его лучше сразу поставить на последнее место. Более того, его лучше пока вообще не учитывать, а сначала применить метод Гаусса к трем уравнениям:

8x + 4y + 6z + w = 164

12x + 6y + 12z + 4w = 308

6x + 4y + 8z + 4w = 210

Запишем расширенную матрицу этой системы:

x y z w Прав.части

8

4

6

1

164

12

6

12

4

308

6

4

8

4

210


Поделим на 2 второе и третье уравнение, чтобы их упростить:

x y z w Прав.части

8

4

6

1

164

6

3

6

2

154

3

2

4

2

105

Поменяем местами неизвестные x и w (от этого уменьшатся коэффициенты в первом столбце):

w y z x Прав.части

1

4

6

8

164

2

3

6

6

154

2

2

4

3

105
  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconОсобенности применения модели Гордона при оценке стоимости объектов недвижимости
Ддп для определения стоимости неизнашиваемых активов [1 и др.]. По своей сути формула модели Гордона представляет собой сумму бесконечного...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconЗадача рационального поведения потребителя на рынке и ее решение...
Экономические системы: структура, виды, историческое место. Способы и критерии типологизации экономических систем

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconЦель урока: подчеркнуть нарастающую необходимость современности «жить...
«природа — идеальный мир» (гармония природы, сбалансированность природных процессов «так было, есть и должно быть всегда!»)

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconНепрерывные случайные величины. Закон Гаусса. Правило 3-х сигм
Закон Гаусса. Пусть Х – значение непрерывной случайной величины, dx- малый интервал, то вероятность dP того, что Х находится в интервале...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconРешение парадоксов и проблем экономической теории Единое решение:...
С помощью кусочно-непрерывного приближения и принципа неопределенного будущего, выведено уравнение прогнозирования. В качестве приложений...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconПо следам викингов: поиски гена близнецовости джон Сент Клер*, М. Д. Голубовский**
Дз близнецы возникают из двух разных оплодотворенных яйцеклеток и различны между собой как братья и сестры. Сравнение мз и дз близнецов...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconДипломная р абот а студента 5 курса В581
Охватывается функцией планирования. Единство планов значит общность финансовых целей и связь всех составляющих системы. Связь между...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» icon1. Понятие и структура экономических систем общества
В переводе с греческого "система" означает некое целое, состоящее из частей, связанных между собой и образующих целостность

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» icon456080 Челябинская обл, г. Трёхгорный, ул. Ленина д. 8 кв. 14 sch109@trg ru
Общества процветают, когда убеждения и технологии согласны между собой; они приходят в упадок, когда неизбежные изменения убеждений...

Решение линейных систем методом Гаусса Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, V, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w + 2z = 15 то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число «коэффициент при неизвестном» iconРоссийская империя и Австро-Венгерская монархия
«Повседневность между боями: неизвестные фотографии венгерского графа Дюлы Каройи о Восточном фронте»






При копировании материала укажите ссылку © 2016
контакты
e.120-bal.ru
..На главную