Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем»






НазваниеУчебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем»
страница4/17
Дата публикации05.03.2016
Размер1.91 Mb.
ТипУчебное пособие
e.120-bal.ru > Экономика > Учебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17
Моделирование систем массового обслуживания

1.3.1. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания

Системы массового обслуживания ЁC это такие системы, в кото­рые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслу­живание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживание выбирает требова­ние из находящихся в очереди, с тем чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очеред­ного требования канал обслуживании приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подоб­ного рода повторяется многократно в течение всего периода рабо­ты обслуживающей системы. При этом предполагается, что пере­ход системы на обслуживание очередного требования после завер­шения обслуживания предыдущего требования происходит мгно­венно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить: посты технического обслуживания автомобилей; посты ремонта автомобилей; персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заяв­ки или требования на решение тех или иных задач; станции технического обслуживания автомобилей; аудиторские фирмы; отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и про­веркой текущей отчетности предприятий; телефонные станции и т. д.

Основными компонентами системы массового обслуживания лю­бого вида являются: входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание; дисциплина очереди; механизм обслуживания.

Входной поток требований. Для описания входного потока тре­буется задать вероятностный закон, определяющий последователь­ность моментов поступления требований на обслуживание и ука­зать количество таких требований в каждом очередном поступле­нии.

Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с кото­рым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами: первым пришел ЁC первый обслуживаешься; пришел последним ЁC обслуживаешься первым; случайный отбор заявок; отбор заявок по критерию приоритетности; ограничение времени ожидания момента наступления обслужи­вания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая дли­на очереди»).

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продол­жительность процедуры обслуживания; количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процеду­ры; вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а не­сколько. Система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверж­дать, что имеет место параллельное обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разно­типных каналов обслуживания, через которые должно пройти каж­дое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе про­цедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, мож­но констатировать, что функциональные возможности любой систе­мы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);

вероятностным распределением времени продолжительности об­служивания;

конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, после­довательное или параллельно-последовательное обслуживание);

количеством и производительностью обслуживающих каналов;

дисциплиной очереди;

мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирова­ния систем массового обслуживания в зависимости от характера ре­шаемой задачи могут выступать:

вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

относительная и абсолютная пропускная способность системы;

средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

среднее время ожидания в очереди;

средняя длина очереди;

средний доход от функционирования системы в единицу време­ни и т.п.

Предметом теории массового обслуживания является установле­ние зависимости между факторами, определяющими функциональ­ные возможности системы массового обслуживания, и эффектив­ностью ее функционирования. В большинстве случаев все параме­тры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы от­носятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в об­щем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса, происходящего в системе мас­сового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслужива­ния. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслужива­ния используют марковскую схему. В случае немарковских процес­сов задачи исследования систем массового обслуживания значи­тельно усложняются и требуют применения статистического моде­лирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе мас­сового обслуживания, различают два основных вида СМО:

системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же по­кидает очередь;

системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступив­шая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, стано­вится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на си­стемы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться: длина очереди; время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в оче­реди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подой­дет очередь.

Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания: одноканальные системы; многоканальные системы.

Приведенная классификация СМО является условной. На прак­тике чаще всего системы массового обслуживания выступают в ка­честве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала об­служивания до определенного момента, после чего система начи­нает работать как система с отказами.
Определение характеристик систем массового обслуживания

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характери­зуемая показательным распределением как длительностей интерва­лов между поступлениями требований, так и длительностей обслу­живания. При этом плотность распределения длительностей интер­валов между поступлениями требований имеет вид:

µ §
гдеµ § - интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

µ §
где µ §- интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Система работает с отказами.

Данная система массового обслуживания может быть представлена в виде графа (рис. 1.13), у которого имеются два состояния:

S0 - канал свободен (ожидание);

S1 - канал занят (идет обслуживание заявки).

µ §

µ §µ §

µ §
Рис. 1.13. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Обозначим вероятности состояний:

P0(t) ЎЄ вероятность состояния «канал свободен»;

P1(t) ЎЄ вероятность состояния «канал занят».

P0(t) + P1(t) = 1

µ §

µ §


µ §Для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q. Действительно, P0ЎЄ вероятность того, что в момент t канал сво­боден и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следо­вательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0(t), т.е.
µ §По истечении большого интервала времени (при µ §) дости­гается стационарный (установившийся) режим:

µ §Зная относительную пропускную способность, можно найти аб­солютную. Абсолютная пропускная способность (А) ЁC среднее чис­ло заявок, которое может обслужить система массового обслужива­ния в единицу времени:

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероят­ности состояния «канал занят»:

µ §

Данная величина Pотк может быть интерпретирована как сред­няя доля необслуженных заявок среди поданных.
Пример 1.9. Пусть одноканальная СМО с отказами представля­ет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки ав­томобилей. Заявка ЁC автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят ЁC получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока ав­томобилей µ § (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживаний являются простейшими.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q; абсолютной пропускной способности А; вероятности отказа Pотк.

Необходимо сравнить фактическую пропускную способность СМО с номи­нальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслужи­вался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение

1. Определим интенсивность потока обслуживания:

µ §

2. Вычислим относительную пропускную способность:

µ §

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО авто­мобилей.

3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

µ §
Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.

3. Вероятность отказа:

µ §
Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост EO получат отказ в обслуживании.

4. Определим номинальную пропускную способность системы (автомобилей в час):

µ §

Оказывается, что в Аном в 1,5 разаµ § больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.
Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок - простейший поток с интенсивно­стью µ §. Интенсивность потока обслуживания равна µ § (т. е. в сред­нем непрерывно занятый канал будет выдавать µ § обслуженных за­явок). Длительность обслуживания ЁC случайная величина, подчи­ненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований по­дступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте. Источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно боль­шую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис 1.14.

µ §µ §µ §µ §µ §µ §

µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §

µ §µ §µ §µ §µ §µ §

Рис. 1.14. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S0 ЎЄ «канал свободен»;

S1ЎЄ «канал занят» (очереди нет);

S2 ЎЄ «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK

SnЎЄ «канал занят» (n ЎЄ 1 заявок стоит в очереди);

ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK

SN ЎЄ «канал занят» (N ЎЄ 1 заявок стоит в очереди).
Стационарный процесс в системе будет описываться системой алгебраических уравнений, решение которой для модели СМО имеет вид:

µ §

µ §

где
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N- 1):

вероятность отказа в обслуживании заявки:

µ §

относительная пропускная способность системы:

µ §

µ §абсолютная пропускная способность:
среднее число находящихся в системе заявок:

µ §

µ §среднее время пребывания заявки в системе:
µ §средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
µ §среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди)
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример 1.10. Специализированный пост диагностики представ­ляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомоби­лей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3 [(N-1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже нахо­дится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток ав­томобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность µ § = 0,85 (автомобиля в час). Вре­мя диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста ди­агностики, работающего в стацио

нарном режиме.

Решение

Параметр потока обслуживаний автомобилей:

µ §

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей µ §иµ §, т. е.

µ §

3. Вычислим финальные вероятности системы:

µ §

µ §
4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

µ §
5. Относительная пропускная способность поста диагностики:

µ §
Абсолютная пропускная способность поста диагностики (автомобиля в час)

µ §

7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):
µ §
8. Среднее время пребывания автомобиля в системе (час):

µ §

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание (час):

µ §
10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

µ §
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомо­били в среднем в 15,8% случаев (µ §).

Рассмотрим одноканальную СМО с ожида­нием без ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. µ §). Остальные условия функционирования СМО остаются без изме­нений.

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без огра­ничения на длину очереди, следующие:

µ §среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

Похожие:

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconЛитература: Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы...
Роль математических методов в принятии оптимальных решений. Классификация методов и область их применения

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconУчебное пособие подготовлено в соответствии с программой курса по...
Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconВопросы к экзамену “ Экономико-математические модели”
Роль моделирования в развитии экономической науки. Основные свойства экономических систем и роль экономико-математических моделей...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconУчебно-методический комплекс по дисциплине «Математические методы в исторических исследованиях»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 030600. 62 «История», изучающих...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconГраф научных интересов
Методы общей теории систем, математического описания, моделирования, оптимизации, обработки результатов испытаний систем управления...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconМ. В. Облаухова Математические модели макроэкономики
Учебное пособие предназначено для изучения курсов «Экономическая теория», «Экономико-математические модели», «Макроэкономика. Продвинутый...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» icon«Экономико-математическое моделирование воспроизводственных взаимодействий...
Официальный оппонент: Ермолаев Михаил Борисович доктор экономических наук, профессор, профессор кафедры экономики и финансов фгбоу...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconТема: «Математические расчеты семейного бюджета»
Математическая экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconМногоуровневые модели зависимости экономического роста от инвестиций: эконометрический подход
Специальность 08. 00. 13 «Математические и инструментальные методы экономики» (математические методы)

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconУчебное пособие для студентов экономических вузов Волгоград «информресурс»
Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей, а также лиц, совершенствующих письменную и устную речь...






При копировании материала укажите ссылку © 2016
контакты
e.120-bal.ru
..На главную