Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем»






НазваниеУчебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем»
страница3/17
Дата публикации05.03.2016
Размер1.91 Mb.
ТипУчебное пособие
e.120-bal.ru > Экономика > Учебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

µ §

µ §

4. Вероятность окончания обслуживания ПК в течение интер­вала времени [1,5; 2,5] будет равна: р(1,5 < t < 2,5) = Ф(z2) - Ф(z1) = 0,892 - 0,107 = 0,785.
Гамма-распределение и распределение Эрланга

Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распреде­ление, если ее плотность распределения вычисляется по формуле:

µ § при x>0, где л > 0 и k > 0

Г (k) ЁC гамма-функция:

µ §

Если k ЁC целое неотрицательное число, то Г(k) = k!

Математическое ожидание случайной величины X, подчинен­ной гамма-распределению, равно: µ §

При этом дисперсия величины Х определяется по формуле: µ §

При целом k > 1 гамма-распределение превращается в распре­деление Эрланга k-го порядка, т. е.

µ § (x>0; k=1,2,ЎK)

Закону Эрланга k-го порядка подчинена сумма независимых случайных величин х1, + х2 + ... + хк, каждая из которых распреде­лена но показательному закону с параметром л.

При k = 1 гамма-распределение превращается в показательное с параметром л.

Показательное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение, если ее плотность распределения выражается формулой: .

µ § x>0

Положительная величина л является параметром показательно­го распределения.

Функция распределения случайной величины X выглядит сле­дующим образом:

µ §

Графики функции и плотности показательного распределения приведены на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Графики показательного распределения

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей показательное распределение, обратно его параметру, т. е. µ §

Дисперсия случайной величины X, имеющей показательное рас­пределение, равна µ §

Отсюда µ § т.е. µ §

Коэффициент вариации случайной величины Х, имеющей по­казательное распределение, равен единице: µ §

Существует важное соотношение между пуассоновским и экс­поненциальным распределениями. Если случайная величина под­чинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в еди­ницу времени, то случайная величина, которая определяет проме­жуток времени между двумя последовательными отказами, распре­делена по экспоненциальному закону. Экспоненциальное распределение можно, в сущности, вывести из распределения Пу­ассона.
Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет равномерное рас­пределение на отрезке [a,b], если на этом отрезке плотность рас­пределения постоянна, а вне его равна нулю.

µ §

Кривая равномерного распределения показана на рис. 1.9.


Рис. 1.9. Кривая равномерного распределения
Значения f(х) в крайних точках а и b участка (а, b) не указыва­ются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины X равна нулю.

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [a, b], равно: µ §.

Дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное рас­пределение на участке [a, b], вычисляется по формуле: µ §.

Отсюда µ §

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на участок [a, b]: µ §.

Пример 1.7. Троллейбусы прибывают на остановку через 4 мин. Какова вероятность того, что время ожидания троллейбуса не пре­высит 3 мин?

Решение

Так как (в - б) = 3 мин., a (b - а) = 4 мин., то P(0< X <3) = 3/4= 0,75
Выбор теоретического закона распределения случайной величины
При наличии числовых характеристик случайной величины (ма­тематического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть определены в первом прибли­жении по таблице 1.2.

Для более точного определения теоретического закона распределения проводят дополнительную статистическую обработку дан­ных. При обработке статистических данных решают вопрос о том, как подобрать для исходного статистического ряда теоретическую кривую распределения, которая выражала бы лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, обусловлен­ные недостаточным объемом выборки экспериментальных данных. Под построением теоретической кривой распределения понимается такая обработка статистических данных, когда обеспечивается под­бор наиболее подходящего теоретического закона распределения, который может быть задан либо функцией распределения F(х), ли­бо плотностью распределения f(х).

Таблица 1.2

Законы распределения случайной положительной величины в зависимости от коэффициента вариации
Пределы изменения коэффициентаЗакон распределения случайной величины Хвариации VxVx =< 0,3Нормальный0,3 < Vx < 0,4Гамма-распределение0,4 =< Vx < 1ВейбуллаVx = 1Экспоненциальный, пуассона

Для построения теоретической кривой распределения исход­ный статистический ряд распределения аппроксимируется одной из дифференциальных функций теоретического распределения f(х). При этом выбирается такая функция f(х), которая обеспечивала бы максимальное приближение теоретических данных к эмпиричес­ким f(х)ЎЦf*(x). Для оценки правдоподобия этого приближенного равенства разработано несколько критериев согласия проверяемых гипотез относительно вида функции f(х).

Наиболее употребительными критериями согласия являются критерий ч2 К. Пирсона и критерий А.Н. Колмогорова.
Задачи по теме «Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем» представлены в Приложении 1 учебного пособия.

Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов

1.2.1. Основные понятия марковских процессов

Функция X(t)называется случайной, если ее значение при лю­бом аргументе X является случайной величиной.

Случайная функция X(t), аргументом которой является время, называется случайным процессом.

Марковские процессы являются частным видом случайных про­цессов. Особое место марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для марковских процессов хорошо разработан математический ап­парат, позволяющий решать многие практические задачи; с помо­щью марковских процессов можно описать (точно или приближен­но) поведение достаточно сложных систем.

Случайный процесс, протекающий в какой-либо системе S, называется марковским (или процессом без последейст­вия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени to вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это со­стояние.

Классификация марков­ских случайных процессов производится в зависимости от непре­рывности или дискретности множества значений функции Х(t) и параметра t.

Различают следующие основные виды марковских случай­ных процессов:

с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Мар­кова);

с непрерывными состояниями и дискретным временем (марков­ские последовательности);

с дискретными состояниями и непрерывным временем (непре­рывная цепь Маркова);

с непрерывным состоянием и непрерывным временем.

Марковские процессы с дискретными состо­яниями удобно иллюстрировать с помощью гра­фа состояний (рис. 1.10), где кружками обозначены состояния S1 , S2,ЎK,системы S, а стрелками ЁC возможные переходы из состо­яния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. Возможные за­держки в прежнем состоянии изображают «петлей», т. е. стрел­кой, направленной из данного состояния в него же. Число состо­яний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным).

Рис. 1.10. Граф состояний системы S
Марковские цепи

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Для такого процесса моменты t1,t2,ЎK, когда система S может менять свое со­стояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не вре­мя t, а номер шага 1, 2, .... k, ... Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний S(0), S(1), S(2), S(k), где S(0) ЁC начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1) ЁC состояние системы после первого шага; S(k) - со­стояние системы после k-го шага.

Событие {S(k) = Si}, состоящее в том, что сразу после k-го ша­га система находится в состоянии Si (i= 1, 2, ...), является случай­ным событием. Последовательность состояний S(0), S(1),ЎK,S(k) можно рассматривать как последовательность случайных событий. Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si в любое Sj не зависит от того, когда и как си­стема пришла в состояние Si. Начальное состояние S(0) может быть заданным заранее или случайным.

Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятности Pj(k) того, что после k-го шага (и до (k+1)-го) система S будет
находиться в состоянии Si (i=1,2,ЎK,п). Очевидно, для любого k

µ §

Начальным распределением вероятностей марковской цепи на­зывается распределение вероятностей состояний в начале процесса P1(0), P2(0), ЎK, Pi(0), ЎK, Pn(0).

В частном случае, если начальное состояние системы S в точ­ности известно S(0) = Si, то начальная вероятность Pi(0)= 1, а все остальные равны нулю.

Вероятностью перехода (переходной вероятностью) на k-м ша­ге из состояния Si в состояние Sj называется условная вероятность того, что система S после k-го шага окажется в состоянии Sj при условии, что непосредственно перед этим (после k - 1 шага) она находилась в состоянии Si.

Поскольку система может пребывать в одном из п состояний, то для каждого момента времени t необходимо задать n2 вероятно­стей перехода Pij, которые удобно представить в виде матрицы переходных вероятностей:
µ §

где Pij - вероятность перехода за один шаг из состояния Si в состояние Sj,

Pij ЎЄ вероятность задержки системы в состоянии Sj.

Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь Маркова назы­вается однородной.

Переходные вероятности однородной марковской цепи Pij образу­ют квадратную матрицу размера nxn, особенности которой заключаются в следующем:

каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного (из i-го) состояния, в том числе и переход в самое себя;

элементы столбцов показывают вероятности всех возмож­ных переходов системы за один шаг в заданное (j-е) состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец ЁC в состояние);

сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:

µ §

по главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности Рij того, что система не выйдет из состояния Si, а останется в нем.

Если для однородной марковской цепи заданы начальное рас­пределение вероятностей и матрица переходных вероятностей ||Рij||, то вероятности состояний системы Pi(k)(µ §;µ §) определяются по рекуррентной формуле:

µ § µ §

Пример 1.8. Рассмотрим процесс функционирования системы - автомобиль. Пусть автомобиль (система) в течение одной смены (суток) может находиться в одном из двух состояний: исправном (S1) и неисправном (S2). Граф состояний системы представлен на рис. 1.11.


Рис. 1.11. Граф состояний автомобиля

В результате проведения массовых наблюдений за работой ав­томобиля составлена следующая матрица вероятностей перехода:

µ §

где Р11 = 0,8 ЁC вероятность того, что автомобиль останется в исправном состоянии;

Р12 = 0,2 ЁC вероятность перехода автомобиля из состояния «испра­вен» в состояние «неисправен»;

Р21 = 0.9 ЁC вероятность перехода автомобиля из состояния «неиспра­вен» в состояние «исправен»;

Р22 = 0,1 ЁC вероятность того, что автомобиль останется в состоянии «неисправен».

Вектор начальных вероятностей состояний автомобиля задан µ §µ §.

Требуется определить вероятности состояний автомобиля через трое суток.

Решение

Используя матрицу переходных вероятностей, определим веро­ятности состояний Pi(k) после первого шага (после первых суток):

Р1(1) = Р1(0)*P11 + P2(0)* P21 =0*0,8+1*0,9=0,9

Р2(1) = Р1(0)*Р12 + Р2(0)*Р22 = 0 *0,2 + 1*0,1 = 0,1.

Вероятности состояний после второго шага (после вторых су­ток) таковы:

Р1(2) = Р1(1)* Р11 + Р2(1)* Р21 = 0,9* 0,8 + 0,1*0,9 = 0,81;

Р2 (2) = Р1(1)*Р12 + Р2(1)* Р22 = 0,9* 0,2 + 0,1* 0,1 = 0,19.

Вероятности состояний после третьего шага (после третьих су­ток) равны:

Р1 (3) = Р1(2)* Р11+ Р2(2)* Р21 = 0,81* 0,8 + 0,19* 0,9 = 0,819;

Р2 (3) = Р1(2)* Р12 + Р2(2)* Р22 = 0,81* 0,2 + 0,19 * 0,1 = 0,181.

Таким образом, после третьих суток автомобиль будет нахо­диться в исправном состоянии с вероятностью 0,819 и в состоянии «неисправен» с вероятностью 0,181.
Непрерывные цепи Маркова

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова при условии, что переход системы из состояния в состояние про­исходит не в фиксированные, а в случайные моменты времени.

В экономике часто встречаются ситуации, которые указать за­ранее невозможно (например, любая деталь или агрегат автомоби­ля могут выйти из строя в любой, непредсказуемый заранее мо­мент времени). Для описания таких систем в отдельных случаях можно использовать математический аппарат непрерывной цепи Маркова.

Пусть система характеризуется п состояниями S0, S1, S2, ЎK, Sn, а переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Обозначим через Pi(t) вероятность того, что в мо­мент времени t система S будет находиться в состоянии Si (i = 0,1, ....,n). Требуется определить для любого t вероятности состояний P0(t), P1(t), .... Рn(t). Очевидно, что µ §.

Для процесса с непрерывным временем вместо переходных ве­роятностей Рij рассматриваются плотности вероятностей перехода лij, представляющие собой предел отношения вероятности перехо­да системы за время Дt из состояния Si в состояние Sj к длине про­межутка Дt:

µ §,

где Рij (t, Дt) - вероятность того, что система, пребывавшая в момент t в со­стоянии Si за время Дt перейдет из него в состояние Sj (при этом всегда i Ѓ‚ j).

Если лij = const то процесс называется однородным, если плот­ность вероятности зависит от времени лij = лij (t), то процесс - не­однородный. При рассмотрении непрерывных марковских процессов приня­то представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий. Пото­ком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим через случай­ные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интер­претируется как интенсивность лij соответствующих потоков собы­тий. Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S, будет марковским.

При изучении марковских случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в графе состояний над стрелками, ведущими из состояния Si в Sj, проставляют соответст­вующие интенсивности лij. Такой граф состояний называют разме­ченным (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Граф состояний системы

Задачи по теме «Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов» представлены в Приложении 1 учебного пособия.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

Похожие:

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconЛитература: Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы...
Роль математических методов в принятии оптимальных решений. Классификация методов и область их применения

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconУчебное пособие подготовлено в соответствии с программой курса по...
Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconВопросы к экзамену “ Экономико-математические модели”
Роль моделирования в развитии экономической науки. Основные свойства экономических систем и роль экономико-математических моделей...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconУчебно-методический комплекс по дисциплине «Математические методы в исторических исследованиях»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 030600. 62 «История», изучающих...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconГраф научных интересов
Методы общей теории систем, математического описания, моделирования, оптимизации, обработки результатов испытаний систем управления...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconМ. В. Облаухова Математические модели макроэкономики
Учебное пособие предназначено для изучения курсов «Экономическая теория», «Экономико-математические модели», «Макроэкономика. Продвинутый...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» icon«Экономико-математическое моделирование воспроизводственных взаимодействий...
Официальный оппонент: Ермолаев Михаил Борисович доктор экономических наук, профессор, профессор кафедры экономики и финансов фгбоу...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconТема: «Математические расчеты семейного бюджета»
Математическая экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов...

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconМногоуровневые модели зависимости экономического роста от инвестиций: эконометрический подход
Специальность 08. 00. 13 «Математические и инструментальные методы экономики» (математические методы)

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» iconУчебное пособие для студентов экономических вузов Волгоград «информресурс»
Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей, а также лиц, совершенствующих письменную и устную речь...






При копировании материала укажите ссылку © 2016
контакты
e.120-bal.ru
..На главную