А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011






НазваниеА. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011
страница14/23
Дата публикации01.06.2015
Размер2.01 Mb.
ТипДокументы
e.120-bal.ru > Экономика > Документы
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   23

4.2. Примеры решения задач систем массового обслуживания



Требуется решить задачи 1–3. Исходные данные приведены в табл. 4.2–4.4.

Некоторые обозначения, применяемые в теории массового обслуживания, для формул:

n – число каналов в СМО;

λ – интенсивность входящего потока заявок Пвх;

v – интенсивность выходящего потока заявок Пвых;

μ – интенсивность потока обслуживания Поб;

ρ – показатель нагрузки системы (трафик);

m – максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок;

i – число источников заявок;

pк – вероятность k-го состояния системы;

pо – вероятность простаивания всей системы, т. е. вероятность того, что все каналы свободны;

pсист – вероятность принятия заявки в систему;

pотк – вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;

роб – вероятность того, что заявка будет обслужена;

А – абсолютная пропускная способность системы;

Q – относительная пропускная способность системы;

оч – среднее число заявок в очереди;

об – среднее число заявок под обслуживанием;

сист – среднее число заявок в системе;

оч – среднее время ожидания заявки в очереди;

об – среднее время обслуживания заявки, относящееся только к обслуженным заявкам;

сис – среднее время пребывания заявки в системе;

ож – среднее время, ограничивающее ожидание заявки в очереди;

– среднее число занятых каналов.

Абсолютная пропускная способность СМО А – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО Q – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок.

При решении задач массового обслуживания необходимо придерживаться нижеприведенной последовательности:

  1. определение типа СМО по табл. 4.1;

  2. выбор формул в соответствии с типом СМО;

  3. решение задачи;

  4. формулирование выводов по задаче.

Вариант выбирается следующим образом: две последние цифры зачетной книжки студента делятся с остатком на количество вариантов, представленных в таблицах. К остатку от деления прибавляется единица. Полученное число явится номером варианта для информации соответствующего вида.

Задача 1. На сортировочную станцию прибывают составы с интенсивностью 0,9 состава в час. Среднее время обслуживания одного состава 0,7 часа. Определить показатели эффективности работы сортировочной станции: интенсивность потока обслуживаний, среднее число заявок в очереди, интенсивность нагрузки канала (трафик), вероятность, что канал свободен, вероятность, что канал занят, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе (табл. 4.2).
Таблица 4.2

Исходные данные для решения задачи 1


Показатель

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

λ

0,5

0,8

0,4

0,6

0,7

0,5

0,7

0,6

0,8

0,4

об

0,3

0,5

0,6

0,9

0,2

0,2

0,4

0,8

0,3

0,5

Решение. Сортировочную станцию можно рассматривать как одноканальную СМО с неограниченным ожиданием (т. е. с очередью). Таким образом, параметры системы: число каналов n = 1, число мест в очереди m = .

Интенсивность входящего потока λ = 0,9 состава в час, среднее время обслуживания одной заявки об = 0,7 ч, интенсивность потока обслуживаний
, (4.1)
μ = 1/0,7 = 1,429. Таким образом, нагрузка системы
, (4.2)
ρ = 0,9/1,429 = 0,63, или ρ = 0,9 ∙ 0,7 = 0,63.

Среднее число составов, ожидающих обслуживания,
, (4.3)
оч = 0,632/(1 – 0,63) = 1,073.

Так как ρ < 1, то очередь составов на сортировку не может бесконечно возрастать, значит, предельные вероятности существуют. Вероятность того, что станция свободна p0, рассчитывается по следующей формуле:
pk = ρk(1 – ρ); k = 0,1,2…

p0 =1 – ρ. (4.4)
p0 = 1 – 0,63 = 0,37, тогда вероятность того, что станция занята pзан = 1 – – 0,37 = 0,63.

Среднее число заявок (составов) в системе (на сортировочной станции) рассчитывается по следующей формуле:
, (4.5)
где ; сист = 0,63/1 – 0,63 = 1,703 или сист = 0,63 + 1,073 = 1,703.

Среднее время пребывания заявки (состава) в очереди (в ожидании сортировки)

, (4.6)
оч = 1,073/0,63 = 0,632/(0,9(1 – 0,63)) = 0,63/(1,429(1 – 0,63)) = 1,19.

Среднее время пребывания заявки (состава) в системе (на сортировочной горке под обслуживанием в ожидании обслуживания)
, (4.7)
сист = 0,7 + 1,19 = 0,63/(0,9(1 – 0,63)) = 1,703/0,9 = 1/(1,429(1 – 0,63)) = 1,89.

Вывод. Очевидно, что скорость обслуживания составов на сортировочной станции невысокая, так как время на ожидание обслуживания (1,19 ч) превышает время на обслуживание (0,7 ч). Для повышения эффективности работы сортировочной горки необходимо уменьшить время обслуживания одного состава или увеличить число сортировочных станций.

Задача 2. Интенсивность потока пассажиров в кассах железнодорожного вокзала составляет λ = 1,35 чел. в мин. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного пассажира об = 2 мин. Определить минимальное количество кассиров n = nmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n = nmin (вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, вероятность очереди, среднее число заявок находящихся в очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее число заявок, находящихся в системе, среднее время пребывания заявки в системе, доля занятых обслуживанием кассиров, абсолютная пропускную способность) (табл. 4.3).
Таблица 4.3

Исходные данные для решения задачи 2


Показатель

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

λ

1,37

1,62

1,42

1,83

1,75

1,55

1,4

1,65

1,7

1,3

об

2,3

2

1

2,5

1,5

1,7

1,2

2,6

1

2,5


Указание. Прежде чем использовать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t → , очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ < 1, т. е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ ≥ 1, очередь растет до бесконечности. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии ρ /n < 1, т. е. при n > ρ.

Решение. n > 1, m = , т. е. имеем многоканальную систему с неограниченной очередью. По условию λ = 1,35 (1/мин). Показатель нагрузки системы определяется по формуле (4.2): ρ = 1,35∙2 = 2,7.

Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии ρ / n < 1, т. е. при n > ρ = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров nmin = 3.

Найдем характеристики обслуживания СМО при nmin = 3.

Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, определяется по формуле
, (4.8)
р0 = (1 + 2,7 + 2,72/2! + 2,73/3! + 2,74/3! ∙ (3 – 2,7))–1 = 0,025, т. е. в среднем 2,5 % времени контролеры-кассиры будут простаивать.

Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, определяется по формуле
, (4.9)
Роч = (2,74/3!(3 – 2,7)) ∙ 0,025 = 0,735.

Среднее число покупателей, находящихся в очереди, определяется по формуле
, (4.10)
оч = (2,74/3 ∙ 3!(1 – 2,7/3)2) ∙ 0,025 = 7,35.

Среднее время ожидания в очереди определяется по формуле
, (4.11)
оч = 7,35/1,35 = 5,44 мин.

Среднее число покупателей в узле расчета определяется по формуле
, (4.12)
сист = 7,35 + 2,7 = 10,05.

Среднее время нахождения покупателей в узле расчета определяется по формуле
, (4.13)
сис = 10,05/1,35 = 7,44 мин.

Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, определяется по формуле
, (4.14)
= 2,7.

Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров

= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.

Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т. е. 81 покупатель в час.

Вывод. Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех кассиров.

Задача 3. На грузовой станции имеется два выгрузочных фронта. Интенсивность подхода составов под выгрузку составляет 0,4 состава в сутки. Среднее время разгрузки одного состава – 2 суток. Приходящий поезд отправляется на другую станцию, если в очереди на разгрузку стоят более трёх составов. Оценить эффективность работы выгрузочных фронтов грузовой станции: вероятность, что выгрузочные фронты свободны, вероятность, что состав останется без разгрузки, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность, среднее число поездов, ожидающих разгрузки, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе (табл. 4.4).
Таблица 4.4

Исходные данные для решения задачи 3


Показатель

Варианты

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

λ

0,5

0,9

0,5

0,3

0,6

0,8

0,9

0,4

0,6

0,5

об

2

1

1,5

1,4

1,3

1,2

1,5

2

1,9

1,4

Решение. По условию задачи n = 2, m = 3, т. е. грузовая станция представляет собой многоканальную систему с ограниченной очередью. Интенсивность потока обслуживаний определяется по формуле (4.1):

μ =1/2 = 0,5.

Интенсивность нагрузки канала (трафик) определяется по формуле (4.2): ρ = 0,4 ∙ 2 = 0,8.

Вероятность того, что выгрузочный фронт свободен, определяется по формуле
, (4.15)
р0 = 0,431.

Вероятность того, что состав будет отправлен на другую станцию, определяется по формуле
, (4.16)
ротк = 0,009.

Относительная пропускная способность определяется по формуле
, (4.17)
Q = 1 – 0,009 = 0,991.

Абсолютная пропускная способность определяется по формуле
, (4.18)
А = 0,4 ∙ 0,991 = 0,396, т. е. в среднем в сутки разгружается 0,4 состава.

Среднее число составов, ожидающих разгрузки, определяется по формуле
, (4.19)
где = 0,21.

Среднее время ожидания разгрузки определяется по формуле (4.11): оч = 0,21/0,4 = 0,524.

Среднее число занятых фронтов (среднее число заявок под обслуживанием) определяется по формуле
, (4.20)
= 0,77.

Среднее число составов, находящихся у разгрузочного фронта определяется по формуле
, (4.21)
сист = 0,21 + 0,77 = 0,98.

Среднее время пребывания состава у разгрузочного фронта определяется по формуле (4.14): сис = 1,564/0,4 = 3,908.

Вывод. Среднее время пребывания состава в ожидании разгрузки на другой станции невелико. Это говорит о нормальной работе выгрузочного узла.
 Рекомендуемая литература: [1, 2, 4, 5, 8, 9].


1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   23

Похожие:

А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011 iconС овременная гуманитарная академия дистанционное образование
Рекомендовано Учебно-методическим советом в качестве учебного пособия для студентов сга

А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011 iconУчебное пособие рекомендовано Научно-методическим советом по заочному...
Маркетинг: Учеб пособие/Под ред проф. И. М синяевой. – М.: Вузовский учебник: инфра-м, 2011, 384 с

А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011 iconКурс лекций рекомендовано Учебно-методическим Советом Московского...
В качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности 20040165 «Биотехнические и медицинские системы и аппараты»,...

А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011 iconУчебно-методическое пособие С. В. Кортунов, доктор политических наук...
Обосновываются основные условия, влияющие на состояние безопасности, определяется геополитическое, геостратегическое и геоэкономическое...

А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011 iconУчебно-методический комплекс для специальностей: №080102 «мировая экономика»
«Математический анализ». На него опираются такие курсы, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Экономико-математические...

А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011 iconУчебное пособие Рекомендовано Учебно-методическим советом Академии...
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям, магистрантов,...

А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011 iconВ. А. Аксентьев математические методы в экономике
...

А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011 iconРекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве...
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов средних профессиональных учебных...

А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011 iconС. В. Ковалев нлп-консалтинг: введение в человеческое
...

А. Н. Кобылицкий Экономико-математические методы и модели Практикум Рекомендовано Методическим советом двгуп с в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство двгупс 2011 iconА. И. Кравченко Рекомендовано Министерством образования Российской...
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений






При копировании материала укажите ссылку © 2016
контакты
e.120-bal.ru
..На главную