Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов»






НазваниеУчебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов»
страница6/10
Дата публикации22.03.2015
Размер0.96 Mb.
ТипУчебно-методический комплекс
e.120-bal.ru > Документы > Учебно-методический комплекс
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Генерация случайных чисел для целей решения задачи


Генерация случайных вещественных чисел, равномерно распределенных в диапазоне от 0 до 1 (случайная величина, со стандартным обозначением γ), осуществляется с помощью соответствующих функций, «встроенных» в язык программирования.

Например, в языке Паскаль – это функция RANDOM: γ:=random.

В MS Excel - это функция =СЛЧИС(), в VBA это функция Rnd.

Если необходимо генерировать случайные числа, равномерно распределенные в другом диапазоне (случайная величина η), то необходимо преобразовать это выражение с помощью операций смещения и масштабирования. Например, для того, чтобы получить случайное число η с равномерным распределением в диапазоне от C до D, необходимо воспользоваться соотношением:

η = C + (D – C) γ.

Варианты задания.

Геометрическая фигура, площадь которой подлежит расчету, образуется осью абсцисс и графиком функции y=f(x) (y> 0) на интервале a ≤ x ≤ b.

При этом:

а) a ≥ 0, b > а.

б) y=f(x) < M.

Ваш вариант (вид функции) определяется по последней цифре вашего порядкового номера в списке группы, деленной на 2 (округление в сторону увеличения).

1) y = k x + c; 2) y = k x ² + c; 3) y = k sin(x) + c; 4) y = k cos(x) + c;

5) y = k ln(x) + c.

Литература: Соболь И.М., Метод Монте-Карло. М., 1968

Отчет о лабораторной работе, содержащий разделы: теоретический, постановка задачи, ход работы, представляется в течение трех недель преподавателю в электронном виде (на носителе или по адресу vladim@fentu.ru).
Лабораторная работа № 2

Тема: Генерация (разыгрывание) случайных величин (СВ) с заданным законом распределения.

Цель: получить представление и практические навыки разыгрывания СВ с различными законами распределения.

Теоретический раздел.

Ответить на вопросы:

а) дать определение понятия «разыгрывание СВ»;

б) указать перечень наиболее распространенных приемов разыгрывания СВ;

Постановка задачи.

1. Выполнить разыгрывание 10 значений дискретной случайной величины, заданной следующим образом:

xi :

1

2

3

4

pi :

0,15

0,35

0,45

0,05


Вычислить среднестатистическое значение разагранной величины и сравнить его с её математическим ожиданием.

2. Выполнить разыгрывание непрерывной СВ (закон распределения СВ индивидуально определяется для каждого варианта).

Ход работы:

1. Выбрать метод разыгрывания случайной величины для заданной (см. раздел «Варианты заданий») функции. Если для данной СВ возможны также иные (помимо выбранного) способы разыгрывания, указать их.

2. Разыграть случайные величины (получить набор значений разыгранных СВ).

3.  Оценить параметры разыгранных случайных величин (среднее значение, статистическая дисперсия) и сравнить их с соответствующими теоретическими параметрами (математическое ожидание, дисперсия).

Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать разделы:

- теоретический;

- постановка задачи;

- ход выполнения работы.

Отчет представляется в течение двух недель после проведения лабораторного занятия преподавателю в электронном виде (на носителе или по указанному электронному адресу).

Методические указания.

Задача может быть реализована средствами MS Excel или какого-либо языка программирования.

Задачу генерирования случайных чисел на ЭВМ с заданным законом распределения решают в несколько этапов:

- предварительно реализуется возможность получать последовательность равномерно распределенных на интервале [0, 1] псевдослучайных чисел («базовая» случайная величина);

- с помощью этой базовой случайной величины получают последовательности случайных чисел с заданным законом распределения в заданном интервале.

Разыгрыванием случайной величины с заданным законом распределения называется получение значения этой случайной величины на основании одного или нескольких значений базовой случайной величины.

Приемы генерации значений «базовой» случайной величины

«Базовая» случайная величина - случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0, 1), то есть такое распределение (равномерное) характеризуется тем, что каждое возможное случайное число - равновероятно.

Генерация случайных вещественных чисел, равномерно распределенных в диапазоне от 0 до 1 (случайная величина, со стандартным обозначением γ), осуществляется с помощью соответствующих функций, «встроенных» в язык программирования.

Например, в языке Паскаль – это функция RANDOM: γ:=random.

В MS Excel - это функция =СЛЧИС(), в VBA это функция Rnd.

Разыгрывание дискретных случайных величин.

Общая схема.

Дискретная случайная величина (ДСВ) X задана, если:

- задано множество её возможных значений { x1, x2, …, xi, …, xn};

- задана вероятность каждого из этих значений pi (i = 1 ÷ n).

Как правило, такое задание удобно оформить в виде следующей таблицы:


X

x1

x2



xn

p

p1

p2



pn


Процедура разыгрывания дискретной случайной величины выглядит следующим образом.

Подготовительные операции:

- разбиваем интервал (0, 1) точками с координатами р1, р1+р2, , р1+р2+р3, …, р1+р2+р3 +…+рn-1 на n частичных интервалов :

;

- эти интервалы имеют естественную нумерацию i = 1 ÷ n, очевидно также, что длина Di  каждого из интервалов равна значению вероятности рi .

Собственно разыгрывание (получение очередного значения требуемой случайной величины на основании одного или нескольких значений базовой случайной величины γ) заключается в циклическом выполнении следующей последовательности действий:

- генерируем очередное значение случайной величины γj (напомним, оно из интервала (0, 1);

- анализируем, в какой интервал ∆i  оно попало, и номер этого интервала определят очередное значение разыгрываемой случайной величины - хi.

Сводный перечень способов разыгрывания непрерывных случайных величин.

1. Общее решение на основании метода обратных функций: путем разрешения уравнения относительно z.
1.1. Решение этого уравнения для разыгрывания равномерной СВ:

z = a + γ(b – a).
1.2. Решение этого уравнения для разыгрывания экспоненциальной СВ (Пуассона) : .
2. Специальное решение (поскольку уравнение не разрешимо) для нормальной СВ (Гаусса) с использованием центральной предельной теоремы.

Разыгрывание нормальной СВ: через «стандартное нормальное распределение» x: z = m + σx.

Разыгрывание «стандартного нормального распределения» на основе «центральной предельной теоремы» - «сумма большого числа случайных чисел с одинаковыми законами распределения приблизительно нормальна».

Известно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание М(R) = 1/2, а дисперсия D(R) = 1/12.

Составим сумму n независимых случайных величин Rj (j = 1,2,...n), которые распределены равномерно в интервале (0, 1). Получим  .

Пронормируем эту сумму. Для этого найдем сначала ее математическое ожидание и  дисперсию. Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма Ri  содержит n слагаемых. Математическое ожидание каждого слагаемого равно 1/2. Следовательно, математическое ожидание суммы равно:

;

Аналогично для дисперсии суммы Rj  получим:
Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы Rj:
Теперь пронормируем сумму Rj.

Для этого вычтем из суммы Rматематическое ожидание этой суммы и разделим на среднее квадратическое отклонение суммы Rj (то есть,    ) .

Получим

  На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей при  распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному закону с параметрами  a = 0 и = 1.

При конечном n  распределение можно рассматривать как приближенно нормальное. Например, при n = 12 получим достаточно точное для практики приближение

 

Таким образом, получаем, что для того чтобы разыграть возможное значение xi нормальной случайной величины Х с параметрами a = 0 и = 1, нужно сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6.
3. Метод Неймана (универсальный) для разыгрывания непрерывной случайной величины.

В общем случае может оказаться, что «метод обратных функций» неприменим: в силу того, разрешить общее уравнение трудно или даже невозможно. Например, в случае, когда интеграл от p(х) не выражается через элементарные функции или когда плотность p(х) задана, не аналитически, а графически.

В этом случае возможно применение действительно универсального метода разыгрывания непрерывной случайной величины - «Метода Неймана».
Итак, задана случайная величина Х с произвольным законом распределения, она определена на конечном интервале (а, b) и плотность ее ограничена (рис. 1): p(х) ≤ M0 .





Рис. 1. Разыгрывание произвольной случайной величины.
Разыгрывать значение Х можно следующим образом:

1) выбираем два значения r1 и r2 случайной величины R и строим случайную точку Г (ή, η”) с координатами

ή = a + r1 (b-a);

η”= r2 M0.

2) если точка Г лежит под кривой у = p(х), то полагаем x = ή, если же точка Г лежит над кривой у = р(х), то пару (ή, η”) отбрасываем и выбираем новую пару значений (ή, η”).
Примечание:

z – значение интересующей нас (разыгрываемой) случайной величины;

γ - значение «базовой» случайной величины – равномерно распределенной на интервале 0 ÷ 1;

x – значение случайной величины со «стандартным нормальным распределением» (m=0, σ =1).

Как правило, в языках программирования и моделирования имеются встроенные функции для генерации значений γ и x.
Варианты задания.

Ваш вариант (вид функции плотности распределения) определяется по последней цифре вашего порядкового номера в списке группы.

0) нормальный закон распределения, m =2, σ = 0,7;

1) распределение по закону Гаусса, m =5, σ = 3,5;

2) закон равномерной плотности на интервале (а, в), а= 10, в= 15;

3) распределение по закону Пуассона (x≥0) , а = 4;

4) нормальный закон распределения, m =0, σ = 2;

5) экспоненциальный закон распределения (x≥0), a = 2.

6) распределение по закону Гаусса , m =25, σ = 5;

7) закон равномерной плотности на интервале (а, в), а= 2, в= 10;

8) распределение по закону Пуассона (x≥0) , а = 10;

9) нормальный закон распределения, m =10, σ = 5.
Лабораторная работа № 3

Тема: Определение закона распределения случайной величины (СВ) на основании опытных данных.

Цель: получить представление и практические навыки решения «обратной» (по отношению к задаче разыгрывания случайной величины) задачи - определения закона распределения СВ.
Теоретический раздел.

Ответить на вопросы:

а) дать общее описание задачи определения закона распределения СВ на основании опытных данных;

б) перечислить этапы процедуры определения закона распределения СВ на основании опытных данных.

Постановка задачи.

Полученные в результате выполнения лабораторной работы № 2 «разыгранные» наборы значений случайных величин, рассмотреть как исходные данные («забыв» их происхождение) и решить «обратную» задачу: определить закон их распределения.

Ход работы:

Для каждой анализируемой СВ.

1. Построить (представить таблично и/или в виде гистограммы) статистическую функцию распределения.

2. Построить (представить таблично и/или в виде гистограммы) статистический ряд распределения.

3. Вычислить статистическое среднее значение по результатам опыта (), где n - количество значений случайной величины, полученных по результатам опыта.

4. Сделать предположение (гипотезу) о виде функции плотности распределения и выполнить её проверку по критерию Пирсона в следующем порядке.

4.1. Вычислить значение меры расхождения по «критерию Пирсона» («кси-квадрат») для выбранной теоретической функции.

4.2. Вычислить значение математического ожидания теоретической функции – гипотезы и сравнить его со статистическим средним (п. 3).

4.3. Установить количество связей (s), определить количество степеней свободы (r).

4.4. Определить (по таблице из Л-1 или используя соответствующую функцию в языке программирования) оценочную вероятность.

4.5. Сделать заключение на основании полученного значения оценочной вероятности.

Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать разделы:

- теоретический;

- постановка задачи;

- ход выполнения работы.

Отчет представляется в течение двух недель после проведения лабораторного занятия преподавателю в электронном виде (на носителе или по указанному электронному адресу).
Методические указания

Задача может быть реализована средствами MS Excel или какого-либо языка программирования.

Значения критерия «кси-квадрат» (Пирсона) вычисляется по формуле (подробнее см. в Л-1).

, где:

i = 1 ÷ k, k – число разрядов статистического ряда, на которые разбит весь диапазон полученных значений случайной величины;

- число значений случайной величины, попавшей i-й разряд (по результатам опыта);

- вероятность (теоретическая) попадания значений случайной величины в i-й разряд;

n - количество значений случайной величины, полученных по результатам опыта.

Количество «связей» (дополнительных ограничений на значения параметров выбранной теоретической функции): s.

Такими дополнительными ограничениями могут быть:

- требование «сумма всех частот должна быть равна единице»() имеет место всегда;

- требование равенства статистического среднего по результатам опыта () и математического ожидания теоретического распределения (M[X]).

Количество степеней свободы: r= k-s.

Оценочная вероятность (p) – есть вероятность того, что мера расхождения теоретического и статистического распределений будет не меньше, чем рассчитанное значение критерия, за счет чисто случайных причин.

Достаточно большое значение p – основание, чтобы признать расхождение между теоретическим и статистическим распределениями несущественным и отнести его (расхождение) на счет случайных причин. Тем самым – нет оснований гипотезу отвергнуть.

В противном случае (если оценочная вероятность мала), гипотезу следует отвергнуть: расхождение между теоретическим и статистическим распределениями является не случайным, а вызвано принципиально неверным выбором теоретической функции.
Лабораторная работа № 4
Тема: Практическое знакомство с программой «MPNet», предназначенной для моделирования взаимодействия параллельных (асинхронных) процессов с помощью аппарата модифицированных Сетей Петри.

Цель: получить представление и практические навыки работы с программным пакетом, овладеть приемами моделирования простых характерных ситуаций.

Теоретический раздел.

Ответить на вопросы:

а) определение Сети Петри, перечень её базовых понятий;

б) сформулировать (применительно к Сети Петри) общие принципы моделирования: замещение (отображение) базовых понятий предметной области понятиями (категориями) системы моделирования;

б) перечислить основные компоненты и функции пакетов моделирования с использованием Сетей Петри (на примере MPNet).

Содержание работы.

1. Общее знакомство с программой MPNet по ее описанию. Свойства и характеристики позиций (мест), переходов, дуг в программе MPNet.

Основные функциональные возможности пакета: графический редактор – построение визуальной модели; эмулятор – «проигрывание» модели; анализ статистики функционирования модели.

Сформулировать отличия (расширения) моделирующих возможностей пакета MPNet, в сравнении с классическим (каноническими) свойствами Сетей Петри.
2. Ознакомление с готовым примером «Офис» (файл – «офис.nmp»). Выявление параметров, значение которых могут быть проанализированы в результате «проигрывания »модели.

3. Построение моделей для простых характерных ситуаций, рассмотренных в лекциях (одноканальная система массового обслуживания; конфликтующие процессы – «запись - запись», «запись – чтение»; «производитель - потребитель»). Формулировка для каждой ситуации возможных задач моделирования:

- целевые параметры, подлежащие анализу;

- исходные (варьируемые) параметры, влияющие на значения целевых параметров.
Вопросы к тестам для тематической (промежуточной) аттестации

Раздел 1.

  1. Виды моделей, их классификация. Место имитационных моделей в этой классификации.

  2. Существенные особенности (целесообразность применения) имитационного моделирования. Основы методологии имитационного моделирования.

  3. «Метод Монте-Карло», сущность. Сопоставление понятий «имитационное моделирование» и «Метод Монте-Карло». Целесообразность и схема применения «Метода Монте-Карло» для вычисления определенного интеграла.

  4. «Метод Монте-Карло», сущность. Правило «3-х сигм», способы оценки достоверности и точности метода.

Раздел 2.

  1. Разыгрывание случайных величин, определение. Продемонстрировать пример разыгрывания дискретной случайной величины с распределением

┌ 3 4 ┐

│ │

└ 0,25 0,75 ┘.

  1. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая схема разыгрывания дискретной случайной величины.

  2. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая формула разыгрывания непрерывной случайной величины (. Оценка ее применимости для различных видов распределений.

  3. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для разыгрывания непрерывной случайной величины равномерно распределенной на интервале (а, в).

  4. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для разыгрывания непрерывной случайной величины с экспоненциальным законом распределения. Примеры практических ситуаций с таким законом распределения.

  5. Разыгрывание случайных величин, определение. Метод Неймана для разыгрывания непрерывной случайной величины с произвольным законом распределения.

  6. Разыгрывание случайных величин, определение. Приемы разыгрывания непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения.

  7. Два аспекта применения аппарата теории вероятностей в имитационном моделировании. Соотношение понятий «математическое ожидание» и «среднее значение, рассчитанное по результатам испытаний».

  8. Определение законов распределения случайных величин на основании опытных данных. Характерные задачи. Особенность применения методов математической статистики в имитационном моделировании.

  9. Статистическая функция распределения. Пример построения по результатам опыта.

  10. Статистический ряд. Пример построения по результатам опыта.

  11. Оценка достоверности гипотезы о законе распределения случайной величины, сделанной на основании опытных данных. Критерии согласия.

  12. Определение законов распределения случайных величин на основании опытных данных. Критерий согласия Пирсона. Схема применения.

Раздел 3.

  1. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение, основные понятия, их графическая интерпретация. Пример: модель одноканальной системы массового обслуживания.

  2. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение, основные понятия, их графическая интерпретация. Пример: модель взаимодействия «производитель – потребитель».

  3. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение, основные понятия, их графическая интерпретация. Пример: модель задачи взаимного исключения процессов (монопольное использование ресурса нескольким процессами).

  4. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение, основные понятия, их графическая интерпретация. Пример: модель взаимодействия процессов чтения и записи.

  5. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS «транзакт».

  6. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS «устройство».

  7. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS «память».

  8. Принципиальное отличие процесса исполнения программы, написанной на традиционном языке программирования и программы в GPSS. Типовая последовательность действий при продвижении транзакта.

  9. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блоки TABLE, TABULATE.

  10. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блоки QUEUE, DEPART.


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

(ДВФУ)

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов» iconУчебно-методический комплекс дисциплины «математическая экономика»
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального...

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов» iconПояснительная записка Дисциплина «Математическая экономика»
Математическая экономика: Учебно-методический комплекс / Автор-составитель: Носова О. А, Калининград, 2011

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов» iconПрограмма дисциплины «Имитационное моделирование» для направления 080100. 68 «Экономика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 68 «Экономика»,...

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов» iconИмитационное моделирование циклических процессов
Цель: анализ многообразия теоретических и статистических подходов к изучению циклических процессов и применение этих методов при...

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов» iconУчебно-методический комплекс дисциплины «Экономика организаций (предприятий)»
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального...

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов» iconУчебно-методический комплекс дисциплины экономика предприятия (организации)
Охватывает круг вопросов, связанных с овладением системы понятий, закономерностей, взаимосвязей и показателей экономических процессов...

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов» iconУчебно-методический комплекс дисциплины «Моделирование и технический анализ финановых рынков»
Учебно-методический комплекс составлен на основании требований государственного образовательного стандарта высшего профессионального...

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов» iconУчебно-методический комплекс учебной дисциплины «Социально-экономические...
Учебно-методический комплекс разработан кандидатом геолого-минералогических наук, доцентом кафедры минералогии и петрографии Голубовой...

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов» iconУчебно-методический комплекс дисциплины «Методология и проектирование...
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями федерального государственного стандарта высшего профессионального...

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математическая экономика и имитационное моделирование экономических процессов» iconУчебно-методический комплекс дисциплины «Геоэкологические и биологические...






При копировании материала укажите ссылку © 2016
контакты
e.120-bal.ru
..На главную