Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства






НазваниеКраткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства
страница7/7
Дата публикации21.01.2015
Размер1.23 Mb.
ТипУчебное пособие
e.120-bal.ru > Документы > Учебное пособие
1   2   3   4   5   6   7

Пример. Молокозавод поставляет в магазин молочную продукцию () и кисломолочную продукцию (). Согласно договора между ними продукция поступает в магазин два раза в день: с 10.00 до 11.00 (1-ый срок) и с 17.00 до 18.00 (2-ой срок). Если молокозавод соблюдает сроки поставок, то магазин выплачивает премии по следующей схеме: при поставке продукции в первый срок выплачивает 5 тыс. руб., во второй срок – 3 тыс. руб.; при поставке продукции в первый срок выплачивает 2 тыс. руб., во второй срок – 3 тыс. руб. Определить оптимальные стратегии поставок и получения продукции.

Решение. Примем молокозавод за игрока А, а магазин – за игрока В. Составим платежную матрицу игры:


Сроки

Продукция

1-ый срок

2-ой срок






5

1



2

3


или

Найдем


,
, седловой точки нет. Применим формулы (63) – (65) для определения оптимальных стратегий и цены игры:
, , , ,

, ,
Оптимальные стратегии: , , цена игры .

Таким образом, молокозавод поставляет молочную продукцию с вероятностью , а кисломолочную продукцию – с вероятностью , а магазин получает продукцию в 1-ый срок с вероятностью , а во 2-ой срок – с вероятностью и выплачивает 2,6 тыс. руб. премии молокозаводу ежедневно.

Матричная игра допускает простую геометрическую интерпретацию.

Нахождение цены игры и оптимальной стратегии для игрока А равносильно решению уравнения:
(66)
Для нахождения правой части (66) применим графический метод.

Пусть игрок А выбрал смешанную стратегию , , а игрок Вk-ую чистую стратегию, . Тогда средний выигрыш игрока А окажется равным
при стратегии (67)
при стратегии (68)
Очевидно, , которую называют нижней огибающей прямых I и II.

Нетрудно видеть, что



Таким образом, верхняя точка нижней огибающей – определяет оптимальную стратегию игрока А: и цену игры .

Проиллюстрируем описанный графичексий метод на рассмотренной выше игре с платежной матрицей .

На плоскости pOz построим две прямые, описываемые уравнениями: и или (I) и (II).

Решая систему уравнений

найдем , , .

Таким образом, имеем полученный выше ответ игры: и .

Теперь покажем как графическим методом найти стратегии игрока В.
(69)
Пусть игрок В выбрал смешанную стратегию , , а игрок Аi-ую чистую стратегию, . Тогда средний выигрыш игрока В окажется равным
при стратегии (70)
при стратегии (71)
Очевидно, , которую называют верхней огибающей прямых III и IV.

Нетрудно видеть, что



Таким образом, нижняя точка верхней огибающей – определяет оптимальную стратегию игрока В: и цену игры .

Для рассмотренной выше гры с матрицей H найдем стратегии игрока В.

На плоскости qOz построим две прямые, описываемые уравнениями: и или (III) и (IV).

Решая систему уравнений



найдем , , .

Таким образом, имеем и .

Замечания. На практике оптимальную стратегию игрока В, если оптимальная стратегия игрока А, следовательно, и цена игры известны, находят приравниванием любого из двух средних выйгрышей игрока В к цене игры:

или .

Для рассмотренного примера такими уравнениями будут

или
Аналогично находят оптимальную стратегию игрока А, если известна оптимальная стратегия игрока В.

и – игры.

Решают такие игры графическим способом, описанным выше. Отличие от – игр заключается в следующем.

  1. Нижняя (верхняя) огибающая семейства прямых



содержит большее число отрезков.

  1. Пусть в игре в верхней точке нижней огибающей пересекаются прямые и . Тогда при нахождении оптимальной смешанной стратегии игрока В полагают, что , , , , где q – решение уравнения

или

  1. Пусть в игре в нижней точке верхней огибающей пересекаются прямые и . Тогда при нахождении оптимальной смешанной стратегии игрока А полагают, что , , , , где p – решение уравнения

или .

игры.

При решении таких игр рекомендуется предварительно уменьшить размеры платежной матрицы или упростить ее в некотором смысле. С этой целью применяют следующие правила.
Правило доминировнаия.
Из платежной матрицы исключают чистые стратегии заведомо невыгодные по сравнению с другими:

а) для игрока А такими стратегиями являются те, которым соответствуют строки с элементами не большими по сравнению с элементами других строк;

б) для игрока В такими стратегиями являются те, которым соответствуют столбцы с элементами не меньшими по сравнению с элементами других столбцов.

Например, рассмотрим игру с матрицей

Сравнивая строки, убеждаемся, что элементы 2-ой строки не больше соответствующих элементов 1-ой строки, а 3-ья строка совпадает с 4-ой. Следовательно, стратегии и невыгодные и могут быть отброшены. Матрица игры преобразуется к матрице

Сравнивая столбцы полученной матрицы, убеждаемся, что элементы 2-го столбца не меньше соответствующих элементов 1-го столбца, а элементы 3-го столбца не меньше соответствующих элементов 4-го столбца, т.е. стратегии и также могут быть отброшены. Окончательно усеченная матрица игры имеет вид
.
Таким образом, оптимальными стратегиями игроков А и В игры с матрицей Н будут и , где и – оптимальные стратегии игры с матрицей .
Аффинное правило.
Пусть и – оптимальные смешанные стратегии игроков А и В в игре с платежной матрицей и ценой . Тогда и будут оптимальными стратегиями и в игре с матрицей и ценой .

Например, игру с матрицей можно заменить игрой с матрицей , т.к. элементы этих матриц связаны соотношениями : ; ; ; ; ; . При этом оптимальные стратегии игр совпадают, а цены игр связаны соотношением .

В общем случае решение игр размера в смешанных стратегиях сводят к решению двух возможно двойственных ЗЛП.
Редукция матричных игр к ЗЛП.
Пусть игра задана платежной матрицей . Через и обозначим соответственно оптимальные стратегии игроков А и В. Пусть – цена игры. Не умаляя общности, полагаем . В противном случае с помощью аффинного правила добьемся того, что все .

Оптимальная стратегия стратегия игрока А обеспечивает ему средний выигрыш, не меньший , при любой стратегии игрока В. Поэтому все средние выигрыши игрока А можно выписать в виде системы неравенств:
(72)
Введем новые переменные:
(73)
Тогда после деления каждого неравенства из (71) на получим новую систему неравенств
(73)
Из равенства



нетрудно получить соотношение для :

.

Игрок А стремится максимизировать свой гарантированный выигрыш . Максимизация равносильна минимизации . Следовательно, получили следующую задачу для нахождения оптимальной стратегии игрока А:
(74)
при условиях (73) и
(75)
Сформулированная задача (74) – (76) является ЗЛП.

Повторим с естественными изменениями предыдущие рассуждения для определения оптимальной стратегии игрока В.

Игрок В стремиться минимизировать гарантированный проигрыш . Все средние проигрыши игрока В запишем в виде системы неравенст:
, (76)
которые следуют из того, что средний проигрыш игрока В не превосходит цены игры при любой стратегии игрока А.

В обозначениях


система неравенств (76) примет вид
(77)
Применение удовлетворяют соотношению

.

Минимизация равносильна максимизации .

Получили следующую задачу для нахождения оптимальной стратегии игрока В:
(78)
при условиях (77) и
(79)
Задача (77) – (79) также является ЗЛП.

Таким образом, игра свелась к двум ЗЛП, которые запишем в матричном виде

, , ,
Очевидно, задачи I и II являются двойственными ЗЛП.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



  1. А.В. Соколов, В.В. Токарев. Методы оптимальных решений. Т.1. Общие положения. Математическое программирование. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010.

  2. А.В. Соколов, В.В. Токарев. Методы оптимальных решений. Т.2. Многокритериальность. Динамика. Неопределенность. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010.

  1. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. СПб.: Питер, 2000.

  2. М. Интрилигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002.

  3. Ф.П. Васильев. Методы оптимизации. М. Факториал Пресс, 2005.


ОГЛАВЛЕНИЕ



Введение ……………………………………………………………………..

3





ЛЕКЦИЯ 1. Исследование операций. Экономико-математические модели. ……………………………………………………………………….




4

ЛЕКЦИЯ 2. Балансовые модели. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Продуктивные модели………………………………………….



8

ЛЕКЦИЯ 3,4,5. Задачи математического и линейного программирования. Модели линейного программирования……………...



15

ЛЕКЦИЯ 6. Динамическое программирование. Принцип оптимальности и функциональности. Функциональное уравнение Беллмана…………….



40

ЛЕКЦИЯ 7. Модели потребительского выбора. Функция полезности. Линии безразличия. Оптимизация функции полезности. Функции спроса и предложения……………………………………………………….




49

ЛЕКЦИЯ 8. Элементы теории игр в задачах оптимального управления экономическими процессами……………………………………………….



58

ЛЕКЦИЯ 9. Методы решения матричных игр в смешанных стратегиях...


73

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………


84


Учебное издание

Г. Н. Камышова,

Н. Н. Терехова

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Краткий курс лекций
Издается в авторской редакции

Корректура авторов


1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Учет и анализ: Краткий курс лекций для студентов направления подготовки 080200. 62 Менеджмент / Сост.: Кудряшова Е. В., Павленко...

Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства iconИнформация подготовлена по материалам, полученным из сети «Интернет»11. 03. 2012
России по реализации федеральной целевой программы «Социальное развитие села до 2013 года». Как сообщили 6 марта корреспонденту в...

Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства iconСписок новых книг, поступивших в библиотеку в ноябре 2012 года
Агафонов В. В. Криминалистика: краткий курс лекций – М.: Юрайт, 2013. – 184с. 10 экз

Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства iconПоложение о Министерстве сельского хозяйства и продовольствия Республики...
Министерство сельского хозяйства и продовольствия Республики Татарстан (далее Министерство) является исполнительным органом государственной...

Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства iconПрограмма импортозамещения продукции в пензенской области на 2015-2017 годы
Министерство сельского хозяйства Пензенской области, Министерство строительства и жилищно-коммунального хозяйства Пензенской области,...

Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства iconКраткий курс лекций Производственная безопасность. Часть 3
Пламя возникает в результате сложного взаимодействия химических и физических процессов

Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства iconКраткий курс лекций по экономике апк
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ставропольский государственный аграрный...

Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства iconД. А. Медведев [и др.] // Экономика сельского хозяйства России. 2012. № С. 7-13
Агропромышленный комплекс требует повышенного внимания [Текст] / Д. А. Медведев [и др.] // Экономика сельского хозяйства России....

Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства iconКраткий курс лекций по дисциплине
Учебное пособие предназначено для студентов Стгау всех направлений, изучающих курс «История, традиции и обычаи народов Северного...

Краткий курс лекций Саратов 2012 министерство сельского хозяйства iconКраткий курс лекций по статистике автор: ильина г. Г.,к э. н
Статистика-наука,которая изучает приемы и методы сбора и обработки информации о каких –либо явлениях и процессах, происходящих в...






При копировании материала укажите ссылку © 2016
контакты
e.120-bal.ru
..На главную